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1 52 RIQUIER.

11 nous suffit maintenant de faire voir que, si le point en question (3°)
est vrai pour un chemin compose de * — i fragments, il Test encore
pour un chemin compose de k fragments, par exemple

5, . . . S<»> . . . S<») . . . etc. . . . S(*-») . . . S^*J.

Designons, a cet effet, par

deux chemins directs, de regulateur p, allant respectivement de ^o
a S^^-'^ et de s^ a S^*^ On a, d'une part, en vertu de ce qui est admis,

W[s^ ... S^») ... Sf*) ... etc. ... St*-*)] = ^[5o ... S(*-»)],

d'ou(31)

^'[s, .... Sf») ... S,... etc. ... S<* - »> ... S<*)] = ^[5o ... S(*-«) ... S<*>];

en se reportant, d'autre part, soil a 2^", soit au cas deja examine dans 3"",
suivant que le dernier fragment S^*"*^ ... S^*^ est direct ou inverse, on
a la relation

qu'il suffit de comparer avec la precedente pour en deduire le point
que nous avons en vue.

IV. Les hypothises etant les mimes que dans not re enonce general, un
chemin inscrit de regulateur p qui contient le fragment

(34)

equivaut au chemin inscrit (rfe mime regulateur) que Von deduit du
premier en remplagant a par dans le sommet intermediaire du frag-
ment (34)'

EfTectivement, le troisieme chemin inscrit que Ton deduit du pre-
mier en y remplagant le fragment (34) par




(35)



((7, /j, . . .),

(^, /„ ...),

I (<^, ^, .. ),



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SUR LES PRINCIPES OE LA TIIEORIE GENERALE DES FOXCTIONS. 1 53

est necessairement praticable,puisqu'il admet, comme les precedents,
le regulateur p. D'un autre cote, 1e second et le troisieme sommet du
fragment (35) sont compris dans les limites de convergence du deve-
ioppement correspondant au premier; le troisieme et le quatrieme,
dans les limites de convergence du developpement correspondant au
second. On pent done, en vertu de Talinea II, supprimer a volonte soit
le second, soit le troisieme sommet du fragment (35), ce qui fait re-
tomber, soit sur le fragment

(^ ^, ...),

soit sur le fragment (34).

V. Notre proposition est exude dans le cos general ou I'arc donne
depend de p variables s^ /, ....

Si i'on a egard a Talinea III, il suffit evidemment de faire voir qu'en
la supposant exacte pour un arc a/> — i variables, elle Test necessaire-
ment encore pour Tare donne.

A cet effet, designons par {s^, t^, . . .) le point initial de Tare, et par
((T, T, ...) un systeme de valeurs arbitrairement choisies dans les
intervalles respectifs oil les p variables ^, ^ . . . sont assujetties a se
mouvoir. Si Ton considere Tare a /> — i variables, oblcnu en attribuant
a 5 la valeur fixe ^o^'c'^ f^^santmouvoir les autres variables /, ... dans
ceux des intervalles precedents qui leur correspondent, tous les che-
mins inscrits de regulateur p ayant leur origine en (/©» • . •) sont prati-
cables, et, des lors, en vertu de ce qui est admis, conduisent en (t, . . .)
a un seul et meme developpement final. Si, prenant ensuite ce dernier
comme developpement fondamental, on considere Tare a une seule
variable obtenu en attribuant a ^, ... les valeurs fixes t, . . . et en fai-
sant mouvoir s dans Tintervalle qui lui correspond, tous les cbemins
inscrits de regulateur p ayant leur origine en s^ sont encore prati-
cables, et des lors (III) conduisent, en a, a un seul et meme develop-
pement final. Or, comme nous allons le faire voir, le parcours d'un
chemin quelconque de regulateur p, inscrit dans Tare donne de
(^o» ^o» . . .) ^ (^» '^' • • •)» f^'^ necessairement relomber sur le develop-
pement dont il s'agit.

Ann, de VRe. KormaU. 3' Serie. Tome VII. — Mai 1891. 20



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1 54


RIQIIER.




Effect! vement, soil








1 (.?o» ^» • •






j (■?!, ^. ■ .




(3(>)


' (.V„ ^„ .






(.^3, tz. . .






((7, T, ..





un semblable chemin, Lc chemin inscril



(:^7)






deduit du precedent a I'aide d'un mecanisme facile a apercevoir, admet
aussi le regulateur p, et Ton voit sans peine qu'il liii est equivalent :
car on pent, en vertu de I'alinea IV, remplacer s^ par s^ dans la cin-
quienie ligne du Tableau (37), puis faire successivement la nieme
substitution dans la quatrieme, la troisieme et la seconde ligne. Con-
siderant alors le tableau resultant, on pourra de meme remplacer 5,
par s., dans sa sixieme, sa cinquieme, sa quatrieme et enfin sa troi-
sieme ligne. En continuant ainsi et reunissant en un seul les derniers
sommcts du tableau final, qui coincident avec (t, t, . . .). on retombera
sur le tableau (36),

U suffit niaintenant d'observer que le cbemin (3^) se compose de
deux fragments consecutifs respectivement inscrits dans Tare a/i — i
variables et dans Tare a une variable dont nous avons parle ci-dessus,
le premier de (/q, . . .) a (t, . . .), le second de ^0 J^ ^•

33. Lorsque les bypotheses formulees par Tenonce du numero pre-
cedent se trouvent realisees, nous dirons que Tare donneest/>ra/fV?a&/<',



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SI:R LES PRIN'CIPES DE LA TH^OUIE GENERALE DES FOXCTIONS. IDD

avec le regulateur ^^ par rapport au developpenient fondamental. A
tout point de cet arc, c'est-a-dire a tout systeme de t^aleurs des indeter-
minees reelles dont il depend, on pent alors faire correspondre un deve-
loppement determine, en s'astreignant a ne considerer que les chemins
inscrits de regulateur p parmi ceux qui vont de I'origine de Tare au
point considere ; le parcours d'un semblable chemin se nomme, pour
abreger, le parcours de Varc, effectue de Torigine au point dont 11
s'agit. D'aillcurs, la proposition formulee a Tcilinea II du numero pre-
cedent permet de supprimer parfois tels ou tels sommets du chemin
inscrit, ce qui abrege evidcmment Toperation.

34. En supposant, comme de raison, que le developpement fonda-
mental admette quelque systeme de rayons de convergence, tout arc
continu, trace a partir du point fondamental dans des limitcs snffisam-
ment rcstreintes, est praticable. Considerons, en eflet, un arc compris
dans les limites de convergence du developpement fondamental; desi-
gnons par/(x, y, ...) la somme de ce dernier, par o^^., S,.* ••• les olo-
metres de/(a?,r, ...) sur Tare dont il s'agit (19), enfin par p une
quantite positive telle que, sur tout cbemin inscrit de regulateur p, les
differences formees avec les coordonnees imaginaires semblables de
deux sommets consecutifsquelconques presentent des modules respec-
tivement inferieurs a o^., S^, . . . (7) : cela pose, on voit immediatement
que Tare donne est praticable avec le regulateur p (33).

D'un autre cote, deux arcs continus, praticables par rapport a un
meme developpement fondamental et respectivement termines en
deux points de memes coordonnees imaginaires, peuvent conduire,
soit au meme developpement final (comme cela aurait lieu , par
exemple, si les deux arcs etaicnt entierement situes dans les limites
de convergence du developpement fondamental), soit, au contraire, a
deux developpements distincts.

Nous dirons, en consequence, qu'un developpement fondamental
donne (admettant quelque systeme de rayons de convergence) definit,
non pas une fonction, mais \xx\q pseudo-fonclion (') de o^, j, . . . ; nous
dirons encore que cette derniere est calculable suivant tel ou tel che-

(*) Le terme do pseudo-fona ion est emprunlc a M. Meray.



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1 56 RIQUIER.

min, brise ou continu, lorsque le chemin dont il s*agit sera praticable
par rapport au developpement donne (30) (33).

35. Si ron substitue d un deK^eloppement fondamental quelconque sa
derivee d*ordres partiels p, qr, .... lout chemin brise praticable (30) reUi-
ti^'ement aiLv anciennes donnees I'est encore relatis^ement aux nouvelles,
ct les developpements successifs obtcnus dans le second cas sont les de'rivees
d'ordresp^ q, . . , de ceuxque Von obtient dans le premier,

II en resiihe que la pseudo-fonction definie par les nouvelles donnees
est calculable (3i), aK*ec le m^me regulateur, surtoiU arc continu ou la
premiere est supposee V^tre, el que le developpement de la seconde en un
point quelconque de cet arc (33) est la derivee d'ordres p, q^ ... du dive-
loppement correspondant de la premiere.

Cette denxieme pseudo-fonction se nomme la derivee d^ordrcs par-
tiels p, q, . . . de la proposee. En tout point d'un arc praticable, les va-
leurs d'une pseudo-fonction donnee et de ses diverses derivees sont,
aux facteurs numeriques connus pres, les coefficients du developpe-
ment correspondant de la pseudo-fonction donnee.

II est clair que, si deux arcs praticables de meme extremite condui-
sent, pour une pseudo-fonction donnee, a un meme developpement
final, ces deux arcs jouissent de la meme propriete relativement a une
derivee quelconque.

36. Si Ton designe par

(38) /(//,^', ...)

la somme d'un developpement entier en u — w^* ^' ~ ^'o» • • •» <'l par

(39) U(x,.)', ...), V(.r,j., ...), ...

les sommes de developpements entiers en x — x^, y — 7o» • ••» ayant
respectivement i/o, v^, ... pour termes constants, on sait (27) que,
pour des valeurs de x, y, ... suttisamment voisines de x^, jo» •••»
Texpression

(40) F(x, J, . . .) -/[U(.r, J, . . .), V(.r, /, ...),...]

pent elle-meme etre mise sous forme d'un developpcMiient entier en



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\



i



SUR LES PniSClPES DE LA TUEORIE GENERALE DES FONCTIONS. 1^7

T — a:o,j— Vo, Ces divers developpements, consideres conjointe-

menl avec le point fondamcntal (wo»^o» •••) s'il s'agitdu premier, ou
avec le point fondamental {x^.y^, ...) s'il s'agit des suivants, defi-
nissent autant de pseudo-fonctions, auxquelles nous attribuerons les
denominations respeetives de pseudo-fonction composante, pseudo-
fonclions simples^ pseudo-fonction composee.

Avant d'enoncer la proposition generale relative aux pscudo-fonr-
tions composees, il importe d'observer que la valeur variable acquise
par une pseudo-fonction donnee de r, y, ... aux divers points d'un
arc continu praticable, a pour elements (&) deux fonctions conti-
nues (7*) des indetermineos reelles ^, /, ... dont Tare depend. Effecti-
vement, si Ton designe par a, t, ... des valeurs particulieres altri-
buees a f, /, . . ., et par 5, yj, ... les coordonnees imaginaires du point
correspondant de Tare donne, la valeur de notre pseudo-fonction, pour
des valeurs de 5, /, ... suftisammcnt voisines de <j, t, ..., s'obtiendra
en substituant aux 2n elements dej" — $,v — r^, . ..,dansun certain de-
veloppement G(x-, y, . . .), enlier par rapport a ces differences, in fonc-
tions continues de ^, /, Des lors, pour des valeurs numeriquement

assez petites de 5 — a, / — t les modules de j? — $, j — yj, ...

tomberont au-dessous de touto quantite donnee, par consequent aussi
celui de la difference G(,r, v, .. .) — G(^, r^ . ..), et, a plus forte rai-
son, les valeurs numeriques des deux elements de cette derniere.

D'apres cela, si, dans Vespace indejini relatif aux variables unaf^i-
naires x^y^ . . . (6), on trace.apartir du point fondamental (x^.y^, , . .),
an arc continu praticable pour les diverses pseudo-fonctions simples (3<))»
le point ayant pour coordonnees imaffinaires les valeurs correspondant es
de celles-ci decrit , dans respuce indejini relatif aux variables imap-
naires w, r, ..., un arc continu dependant des m^mes indeterminees
reelles que le premier.

37. Cela pose, si les diverses pseudofonctions simples (Sq) sont toutvs
calculables sur un m^me arc continu {a), et si la composante (3S) j'ouit
de la m^fne propriete sur Tare correspondant (A) decrit par le [yoint

tU(jr, V, ...), V(^,7, ...), ...J

(36), la pseudo-fonction composee ( \o) est calculable sur Care (a), et son



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J 58 RIQUIER.

developpemvnl en un point quekonque de celui-ci sohtienl en combinant
les developpements correspondants (33) des pseudo-fonciions simples et
romposante a ('aide du mecanisme decrit an /«'* 27.

Pour abreger, nous ne ferons guore qu'euonctM* succossiveinent les
(livers points a demontrer.

I. Lorsqnune pseudo-fonction de x, v, . . . est calculable sur un arc

(lonne, on peut assigner certaines consiantes positives 8^., ^y que son

developpemenl en un point variable de rare (33) ne cesse d*admettre
comme rayons de convergence.

Le fait en question se demontre par des raisonnements tout a fait
analogues a ceux du n° 18, et nous Texprimerons d'une maniere plus
hreve en disant que notre pseudo-fonction admet, sur toute I'etendue
de Tare donne, des rayons de convergence au moins egaux a o^.,



En designant par 5, /, ... les indelerminees reclles dont depend
Tare donne, soit w une con.stante positive telle que, pour deux points

(s',t', ...), (s\ t\ ...),

arbitraircmenl choisis sur cet arc, les differences forniees avec les
coordonnees imaginaires semblables presentent des modules respecti-
vcnient inferieurs a S^., o_^, ..., aussitot que les differences *" — 5,
/"— /',... sunt numeriquemenl inferieurs a w (7) : il n'est pas inutile
d'observer que la constante positive co, ainsi determinecy peut senir de
regulateur a la pseudo-fonction sur rare donne,

li. Lorsqu une pseudo-fonction de a*, v, ..., calculable sur un arc
donne, adniety sur toute Vetendue de cet arc, les rayons de conver-
gence S^, 0^., ... (I), respectivement superieurs aux constantes positives
Oj., dy, . . . , on peut assigner une derniere constante positive au-dessous de
laquelle tombe sans cesse le module du developpement de la pseudo-fonc-
tion ^ quels que soient et le point de rare auquel ce developpement se rap-
portCy et les valeursy de modules inferieurs ou egaux a o^, 5^., . . . , attri-
buees aux accroissements variables quiyfigurent,

III. Soient
o'. A' deux constantes positives telles que Ton puisse assigner aux
divcrses pseudo-fonctions simples, tout le long de Tare (a), quelque



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1



/



SL:R LES PRIXCIPES DE LA TIIEORIE GENERALE DES FONCTIONS. Df)

systeme (fixe) de rayons de convergence > S\ et a la composante,
tout le long de Tare (A), quelqne sysleme (egalement fixe) de
rayons de convergence >A'(I);

L unequantite positive au-dessousdelaquelletombentconstanimentles
modules des developpements des diverses pseudo-fonctions simples,
quels que soient et le point de Tare {a) auquel ces developpements
se rapportent, et les valeurs, de modules inferieurs ou egaux a o',
attribuees aux accroissements variables qui y figurcnt (II);

^ une quantite positive inferieure a S', et telle que I'expression



'{R)RF"]



tombe au-dessous de A' tant que les variables positives ^, yj, ...
restent a la fois inferieures a ^;
r une quantite positive telle que, pour deux points

arbitrairement choisis sur Tare (a), les differences formees avec
les coordonnees imaginaires semblables presentent des modules
inferieurs a ^, aussitot que les differences s"— s\ i" — t\ ... sont
toutes numeriquement inferieures a r (7).

Cela pose, on se convaincra sans difficulte que la pseudo-fonction
composee est calculable sur Tare (a) avec le regulatcur r, et que son
developpement en un point quelconque de Tare \a) s'obtient confor-
mementaux indications de I'enonce.

38. La remarque suivante est parfois utile.

Si les diverses pseudo-fonctions simples sont calculablcs suivantun m^nie
c/iemin hrise {^0), si, d' autre part, la composante est une fonction inde-
finiment olotrope (12) (26), Ui pseudo-fonction composee est elle-meme
calculable suivant le chemin brise dont il sagit; chacun des developpements
successifs quelle four nit alors admet comme rayons de convergence ceux
quaxlmettent a la fois les developpements de m^me rang des pseudo-fonc-
\ tions simples y et s'obtient en combinant ces derniers avec celui de la com-

\ posante.



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I Go RIQUIER.

39. Soient

(-iO y^{^r,y, ...), V(^, V, ...), ...

diverses pseudo-fonctions de x, v, . . . (en nombre limile);

quelques-unes de leurs derivees (en nombre egalement limite) (35);

le point fondamental commiin a toutes ces pseudo-fonctions, et

leurs valeurs fondamentales. Soil, d'autre parf,
(42) fi^^y, ...,", i\ ...,?, ..•)

une pseudo-fonction composante avec

(•^'o> J'o> • • • > '^o> *'o> • • • » 9o> • • • )

comme point fondamental.

Si ron trace a partir de {xq, y^, , ..) un arc pralicabU pour les diverses
pseudo-fonctions (^i), si I* on suppose en outre que Varc correspondanl
(31)) decrit par le point

[j,-, J, ..., U(j7, J, ...), V(x, J, ...), ..., ^(.^, J, ...), •■ .]

soit lui-mime praticable pour la pseudo-fonction composante (42), le
simple rapprochement des n^^ 35 et 37 nous fait voir que le premier de ces
deux arcs est praticable pour la pseudo-fonction composee, et nous apprend
a former le developpement de cette derniere en un point quelconque de
Varc dont il s'agitj connaissant les developpements correspondants des
pseudo-fonctions (4i) ^/ (42).

Considerons maintenant deux pseudo-fonctions composees, (inies ou
differentielles, et supposons que les diverses donnees fondamentales
definissant de part et d'autre, comme ci-dessus, les pseudo-fonctions
simples et composantes, aient ete choisies de telle maniere que les
developpements fondamentaux des deux pseudo-fonctions composees



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SUR LES PRINCIPES DE LA TH^ORIE GENlSlRALE DES FONCTIONS. l6l

soient identiques. Si Ton trace alors, a partir du point fondamental
commun a ces dernieres, un arc tel que la proposition precedente soit
applicable a toutes deux, leurs developpements construits» d*apres le
mecanisme indique, en un meme point quelconque de Tare dont il
s'agit, seront, eux aussi, identiques Tun h Tautre.

40. Ddsignons par

(43) /i(j:,^, ...), /i(.2?,7, ...)» •••» fg{^^yy-')y ••••

de$ pseudo'fonctions toutes calculables sur un mime arc coruinu partant
du point fondamental common, et supposons que, pour chaque point par-
ticulier de Varc dont il s'agit {cest-a-dire pour chaque systeme de valeurs
particulieres attribuees aux indetermindes reelles s^ t^ ... dont il depend),
on puisse assigner : i^ un systeme de rayons de convergence 8^^ 8^, .. . ,
commun en ce point a toutes les pseudo-fonctions de la suite, mais variable
d'un point a l' autre; 2® un groupe de qiiantites positis^es

et une serie convergente a termes positifs

M, -4- M, -f- . . . -f- M^ 4- . . . ,

variables encore d'un point a r autre, et tels que les developpements des
diverses pseudo-fonctions (43) au point consideri conservenl des modules
respectivement inferieurs a M|, M^, . . . , M^, . . . , lorsquon attribue aux
accroissements variables quiyfigurent des valeurs quelconques de modules
respectivem^ent infeiieurs ou egaux a S^., S^, . . . .

Cela etant, si Von considere la serie ayant pour termes les sommes des
developpements fondam^ntaux des pseudo-fonctions proposies, quon la
transforme en une autre procedant suivant les termes elementaires de ces
series partielles, et quon opere /inalement la reduction des termes sembla-
hles, la pseudo'fonction definie par le developpement resultant est elle-
m£me calculable sur Varc donne, et son developpement en un point quel-
conque de celui-ci peut se deduire , a Vaide du mime mecanisme, des
developpements correspondants des pseudo-fonctions proposees.

On demontrera, par des raisonnements analogues a ceux du n** 18,

Ann, de VKc, Normale, 3« SerijB. Tome VIII.— Mai 1891. 21



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l62 RIQUIER.

que les quantites S'^, S^, ..., variables d'un point a I'autre de Tare
donne, restent toujours au moins egales a certaines constantes posi-
tives ^^, ^j., . .. ; puis, on designera par r une constante positive telle
que, pour deux points

arbitrairementchoisis sur Tare donne, les differences formees avec les
coordonnees imaginaires semblables presentent des modules respecti-
vement inferieurs a ^x^ ^yy ..., aussitot que les differences s" — s\
t" — /',... sont toutes numeriquement inferieures a r (7), et Ton fera
voir que la pseudo-fonction deduite des proposees parle mecanisme
indique est calculable sur Tare donne avec le regulateur r.

41. Les functions proprement dites (et c'est la une observation de
la plus haute importance) se defmissent tres souvent a I'aide de
pseudo-fonctions ; le mecanisme de cette generation est d'ailleurs tres
facile a saisir.

Etant donnes une pseudo-fonction de J7,y, .. ., et un espace con-
tinu (4) comprenant le point fondamental, considerons, parmi les arcs
traces a partir de ce point dans Tespace donne, ceux qui satisfont a
tel ou tel groupe de conditions (comme, par exemple, de dependre
d'indeterminees reelles en tel ou tel nombre, ou bien encore d'en de-
pendre par des relations de telle ou telle nature, etc.). Si tout point
(a;, r, ...) de Tespace donne se trouve situe sur quelqu'un des arcs
dont il s'agit, si de plus ces derniers sont tons praticables, si enfin le
developpement auquel on est conduit a Textremite de chacun d'cux
depend uniquement des coordonnees imaginaires de cette extremite,
et non de Fare suivi pour y arriver, il est clair que Ton peut, a
Taidede notre pseudo-fonction, definirdans Tespace donne une fonc-
tion proprement dite de ^, j,

42. Deux arcs continus , praticables par rapport a un developpement
fondamental donne, et aboutissant respectwement en deux points de m^mes
coordonndes imaginaires y conduisent au m6me developpement finaly si les
deux chemins brisds a I'aide desquels celui-ci s obtient depart et d' autre (33)
peuvent itre choisis de maniere a constituer les deux termes extremes de



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SUR LES PRINCIPES DE LA THlfeORIE GlfeN^RALE DES FONCTIONS. 1 63

quelque suite de chemins brises, ay ant torn mimes points initial et final
que les arcs proposes, et satisfaisant a la triple condition :

i^ Que les sommets soient en mSme nomhre sur deux quelconques
d'entre eux;

2® Quen designant par S^, §j., . . . certaines constantes positi^^es, les
differences jormdes avec les coordonnees imaginaires semblables de deux
sommets consecutifs appartenant a un mime chemin^ ou de deux sommets
de mime rang appartenant a deux chemins consecutifs, presentent tou-

fours des modules respectivement inferieurs df — > -^j • • • ;

3** Enfin, que les des^eloppements successifs auxquels conduit I'un quel-
conque de ces chemins admettent tous comme rayons de convergence les
constantes §^, S^,, . . . .

II sufQt evideminent de demontrer Tequivalence de deux chemins
consecutifs pris dans la suite dont parle I'enonce. Or, si Ton de-

signe par

(a)o(a)i(a), ... (a);(A)

et

(«)o(a)i(«), ...(«)aA)

les deux chemins en question, nos hypotheses, combinees avec le
n° 3i el I'alinea I du n** 32, donnent successivement



^l(«)o(a)i] = ^'[(«)o(«)i(a),],



puis



^^[(«)o(a)t(a),]
= V[(a)o(a),(a),(a),]=:^[(a)o(a)t(«),] = ^[(a)o(a),(a),(a),],



d'oii



puis encore



^[(«)o(«)i(a),] = ^[(a)o(a),(a),(a),];



d'oii
etc.



^[(«)o(a)i(«)«(a)s] = ^[(«)o(«)t(«),(«),(«)3]

= ^[(a)o(a),(a),(a)3]=:^^[(a)o(a),(a),(a),(a)3],

^[(«)o(a),(«),(«)3] = ^l(a)o(«)i(a),(a),(a),];



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1 64 RIQUIER.

On arrivera ainsi a

^[(«)o(«)i(«)....(a).] = ^[(«)o(a)i(«)t... («)/(«)/],

et finalement a

^[(a)o(ai)(a),...(a)/(A)]

= ^[(a)o(a),(a), . . . (a),(a),(A)] = W[{a),(a),{a), . . . (a),(A)].



Application des theories pricddentes.

43. Designant par u une fonction inconnue des variables imagi-
naires x, y, ..., et par a?o» 7o» ••• des valeurs fixes respectivement
attribuees a ces dernieres, considerons un systeme d'equations diffe-
rentielles ayant respectivement pour premiers membres certaines de-
rivees d'ordres partiels donnes de la fonction inconnue, et pour seconds
membres autant de developpements entiers en x — x^, y—yo, ....
La recherche de tous les developpements de meme forme qui, substi-
tues a u dans ces diverses equations, en rendent les premiers mem-
bres respectivement identiques aux seconds, se trouve contenue tout
entiere dans les considerations suivantes, que nous nous bornerons a
rappeler comme etant confines de tout le monde.

I. Nous nommerons derwees principales de la fonction inconnue
celles qui figurent dans les divers premiers membres du systeme pro-
pose, ou qui peuvent se deduire de quelqu'un d'entre eux par des dif-
ferentiations convenables. Les autres derivees porteront le nom de pa-
rametriques {^).

Par exemple, si les derivees du premier ordre de la fonction incon-
nue sont toutes donnees, ses derivees de tous ordres sont necessaire-
ment principales.

Si les derivees d'ordre total K, sans aucune d'ordre inferieur, sont



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