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les quantites RJ,, R'p, ..., Rx, C diflereront, en general, des quan-
tites Ra> Rp, .... Rx* C qui representent les coefficients calorifiquos
dans le cas particulier ou le systeme est soumis aux forces qui le main-
tiennent en equilibre.

Ces quantites R,, R^, .... Rx, C auront rcspectivement pour valeur

R'.-'^" 'r'



r;-^_1l'



ou bien, en vertu de Tegalite (29),

I Pi _ 1 rii^ /"^ _ .i!iL\ ^ ^ _ p'l

|"P~ELF'(3)Wi3 d^dfh)^ d^ "J*

(3.){

I , irF(&)/^ _d^\ d-f 1

i"^-ELF'(a)WX ~ d-k&i)'^ d\ "^y

C. - ' fF(5)/c>A (?*A , t, F(5)F'(5) |/ d.i\ 03 ^



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2ji4 P. DUaEM.

Si nous comparons ces egalites aux egalites (27) et (3o), nous
voyons que« pour que Tune des quantites R\ la quantite R', par
exemple, devienne egale a Ra, il n'est pas du tout necessaire que les
forces qui agissent sur le systeme soient celles qui en assurent Tequi-
libre; pour que I'on ait

Ra=Ra>



*'=l=*'



il est necessaire et suffisant que Ton ait

de meme, pour que Ton ait

C'=C,

il est necessaire et suftisant que Ton ait

Nous Ycnons d'eludier une modification que n'accompagne aucune '
variation de force vive. Dans le cos ou la force vwe pourrail lyarier, on
aurait

Si le systeme se meut librement sous Taction des forces exterieures
determinees par les quantites A', B', ..,, L\ 0', on demontre que
Ton a

«2^=(A'-A)aa+(B'-B)3?-h...-t-(L'~L)a)..

L'egalite precedente devient done, />owr un systime qui se meut lihre^
ment sous V action deforces exterieures quelconques,

(32) dQ' — dQ.

Nous avons vu au Chapitre ( qu'un cas particulier interessant etait
celui oil les parametres a, p, ..., X, & etaient choisis de telle sorte-
que tons les points du systeme demeurent immobilos lorsque 2" varie
seul.

Dans ce cas, on a necessairement, que le systeme soit ou non en
equilibre,



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SUR LES EQUATIONS GENERALES DE LA THERHODYNAMIQUE. 255

Soit .f(a, p, ...,X, &) le potentiel thermodynamique du systeme.
Son energie interne U(a, p, ...jX, &) est donnee par Tegalite (29),
qui devient

(33) u - i|f-I^^1.

D'apres Tegalite (28), Tentropie S(a, p, . . . , X, S) du systeme
devient

Dans une transformation quelconque, effectuee sous I'action die
forces exterieures A\ B\ .... L\ &\ le systeme degage une quantite
do chaleur dQ' donnee par

(35) Efl^Q'-ha2^=~*[^-|77y

Si le systeme se meut librement sous Taction des forces exterieures,
cette egalite se reduit a



E^Q = -3[^_|Wg]^,j,^B



d;3-t-...-HLax.



i En vertu des equations (25), on a

A (5a 4- B 3(3 4-. . .-h LdX = ^ d« 4- ^ 3? H- . . .4- ^ » = 3^f - ^ (fe.
On a done
,36) . E.Q = 4^g]-|«

Dans le cas particulier 011 la modification est isothermique , cette
eg^Iite se reduit a

(37) ^^<^-Fpj*d5-

D'apres les egalites (27) et (3o), les coefficients calorifiques du



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256 p. DUHEM.

systeme en equilibre ont pour valeurs

_ I F(a-) ^,f

"~ EF'(&)dada*

„ I F(a-) dKi

P~ EF'(&)<J(3^'



(38)



E F'(&) dX(»

"" EJF'(^) d3r« [F'(^)]« dSri'
Nous arrivons ainsi a cette belle proposition de M. Massieu :

Lorsque les parametres sont choisis comme nous venons de Vindiquer^
I'energie interne du systeme, son entropie, les coefficients mecaniques et
thermiques du systeme en equilibre, s'expriment torn au nuyyen des deri-
s^ees partielles du premier et du second ordre de son potentiel thermodyna-
mique interne.

Imaginons un systeme dans lequel les parametres sont choisis
comme nous venons de I'indiquer; lorsque & varie seuK les forces
exterieures n'effectuent aucun travail; supposons ce systeme soumis
a des forces A', B', . . . , L', qui sont ou ne sont pas celles qui peuvent
le maintenir en equilibre; supposons enfin que, lorsque la tempera-
ture est maintenue constante, ces forces admettent un potentiel fi,
fonction de a, p, . . . , X, &, de telle sorte que Ton ait

^- da'






L'egalite (35) deviendra alors
Mais, dans ce cas, le systeme admet un potentiel thermodynamique



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SDR LES EQUATIONS GENERALES DE LA THERMODYNAMIQUE. 2J7

total, defini par Tegalite

(23) *=:^-hQ.

On a done

(39) E^Q'4-a2— =-o[* - p^^J-d[p^J-H^oSr.

Dans le cas particulier oil la fonction Q ne depend pas de ^, on a
et cette formule prend la forme beaucoup plus simple

Toutes nos formules se simplifient si nous prenons pour tempera-
ture la temperature absolue elle-meme; nous avons alors

&=:T, F(&)=:T;

si nous nous plagons, en outre, dans les conditions oil

e'=enr/^=o,
nos formules (33), (34), (3i), (35), (36), (39) et (4o) deviennent

(33^^!^) U =1(^^-1^),

(34 615) S =:-g ^^,

/ _ T d^^



(3i6w)



9

T d'#

jinn, de V^.c. Normale, 3* Serie. Tome VUl. — Aoot 189 i. 33



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a58 p. DuiiEH.



(36A«) EdQ=TS^,

Ges diverses formules sont frequcmment employees dans les appli-
cations.



CHAPITRE V.

D'UN CHANGEMENT DE VARIABLES.



Supposons que les parametres a, p, . . ., X, & qui definissent an sys-
teme aient ete choisis de maniere que la seule variation du parametre
& n'entraine aucun travail des forces exterieures appliquees au sys-
teme, Soit

le potentiel ihermodynamique interne de ce systeme.
Posons

^ =/„(«, P,....X. 3),

(4.) ;^=/p(«.(3.....X,a).



^=/x(«,|3,...,X,&).



Le systeme sera en equilibre si on le soumet aux forces exterieures



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SUR LES feQUATlONS GENERALES DE LA THERMODYNAMIQUE. 259

ayant pour le travail virtuel

d^e= A 5a -h B 5^ H- . . . -4- L dX,
A, B, . . ., L etant definis par les egalites

/ A=i/a(«,(3 X,^),

(^,) I B=/p(a,p, ...,X,&),

( Lr:z/x(a,P, ...,X,3r).

Nous Savons que les fonctions/a,/p, . . .^/x sont des functions uni-
formes des variables a, p, . . ., X, &.

On peut supposer les equations (4^) resolues par rapport k a, p, ...,
X. On aura alors

/ ar^/2A(A,B, ...,L,&),
(43) (3z==Ab(A,B, ...,L,3r),

( X=/iL(A,B, ...,L,&).

Ces equations definissent les valeurs que prenncnt, a la temperature &,
les parametres a, p, ..., X, lorsque le systeme est en equilibre sous
Taction de forces exterieures, ayant pour travail virtuel

dtB,— A da H- B 5^ -4- . . . -H L d>..

II peut fort bien se faire que les fonctions A^, ^b» • • •» ^l '*^ soient pas
des fonctions uniformes des variables A, B, . . ., L, &. A un meme sys-
teme de valeurs de A, B, ..,, L, & peuvent correspondre plusieurs
systemes ou meme une infinite de systemes de valeurs de a, p, . . ., X.

On peut se proposer d'etudier le systeme, en prenant, pour le de-
finir, les parametres A, B, ..., L, 2r, au lieu des parametres a, p, . . .,
X, &. Nous allons donner quelques formulesgenerales relatives a cette
etude.

Considerons Texpression

(44) Hi=cf— (Aa-hB(3^-...-^LX),

qui est une fonction uniforme de a, p, . . ., X, &. Si, au moyen des ega-
lites (43)» nous y remplaQons a, p, . .., X par leurs expressions en
fonction de A, B, ..., L, &, nous obtiendrons une fonction de ces



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26o p. DUHEM.

nouvelles variables, qui peut fort bien nStreplus uniforme. Designons-

la par

5(A,B, ...,L,&).

Si les quantites A, B, . . ., L sont maintenues constantes, on aura

A 5 a 4- B 3^ -h . . . 4- L 3X = 3 ( A a -h B (3 -h . . . -h L X ) .

Dans ce cas, par consequent, les forces exterieures constantes A, B, ...,
L admettent un potentiel

Q = -(Aa4-BP-+-... + LX),

et la fonction

5(A,B,...,L)

est le potentiel thermodyncunique total d'un systime soumis aux forces
constantes A, B, . . ., L.
L'egalite (44) nous donne

dk ~ da dA "^ d(3 dA "*"• * "^ dl dk

"^W^dk ""•••~*^5a """•
Mais les egalites (4i) et (4^) donnent






On obtient done ainsi la premiere des egalites

(45) { ^ dB'






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SUR LES EQUATIONS GENERALES DE LA THERMODYNAMIQUE. 26 1

les autres s'etablissent d'une maniere analogue; d*ou la proposition
suivante :

Lorsque, pour un sysUme donney on connait la fonction

i)(A,B, ...,L,&),

on peut, par de simples differentiations y obtenir les valeurs que prennent
les parametres ck,^ p, . . ., X, lorsque ce systime est en equilihre, a la tem-
perature &, sous I' action des forces exterieures A, B, . . ., L.

Si les parametres A, B, . . ., L, & varient de SA, SB, .. ., SL, S&, le
systeme, suppose constamment en equilibre, eprouve une modifica-
tion infiniment petite et degage une quantite de chaleur infiniment
petite

rfQ = — (pa 3A -+- pB 3B -h . . . -4- PL 5L -h y 5^).

pA» pB» •••• Pl» Y sont, dans le nouveau systeme de variables, les coef-
ficients calorifiques du systeme;. y est la capacite calorifique relative au
systeme de variables A, B, . . ., L, &.
On a evidemment, entre les parametres

Ra> Rp» •••> Kx, C



et les parametres
les relations



(i6)



Pa> Pb«



• , pL, y,






da



doi



„ dk ae



„ dk ae









"^P'-dp'



PL









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262




p. DUHEH.




ou bien encore










I 9.


doc d?
_Ra^ + Rp^+.






PB


= R.^ + Kp^4-.




(47) <








pL


-R ^"^ ^rJ^ ^






y


-R ^''^Ra^^ ^





Ces egalites permettent de passer des coefficients calorifiques relatifs
a un systeme de variables aux coefficients calorifiques relatifs a Tautre
systeme, et inversement.
L'egalite

^ = 5 -h Aa -h B(3 -h . . . -h LX

donne









d\^) dH



d\ dH d:s



d\^ dL
dA dL d^






dBf d\f^ dA
da \d\idA d'^



d^f)
dB'



d^



J^dL
dB dL d^



dBd^j



dL ( d\^ dA ^ d^ dB
dx \dLd\ d& "'

d,^ d'A



dA dad'^



d^A



docd^



OLdh d3


di^ d*B


on dad^


«^'B



dxd^






dL



^5 ^^
dL d« di



dad^



dLdTs,



dk
d^'



Si Ton tient compte des egalites (45). certains terraes disparaissent,



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SUR LES EQUATIONS G^NtlRALES DE LA TBERMODYNAMIQUE. 263

et Ton peut ^crire

d»d^~ dK&St dx'^d'Bd^ dac "^ ' '^ dL d?i da

■*■ dec \dA) dTs'^ d» \dli) d^'^"^ da \dL) da
dk

Mais, d'apres les egalites (^5), on a

da\d\J~ da~ '
da\dB)~ da~ '






da \dLj ~ da

On a done

d*^i _ d*^ dk <)',5 dB d\^ dL

dad^~ dkd^ da ^ dBd^ da ^"'^ dLd-Ss da'

D'autre part, d'apres la premiere des egalites (38), on a

R ' F(5) d*:i

On a done la premiere des egalites

_ 1 F(a) / d'-i) dk dVI) dB , <?V»j dL\

"~ E F'(a) \dk d^ da^ dMd^ da'^"^ dLd^ da)'

R.-_iIi^/'_^Ll-«[^ J^dB . d^S> dL\

P~ E F'(&) \dk d^ d^ dM d"^ d^ dL dU d^ }'

»

R.-_i|W/'.^!il<^6 _d\5.aB , d'^ dL\

"* — E F'(&) \dk&^ dl dB <fe dl '^ "'^ dLd^ dl J'

les autres s'obtiennent de meme.



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264 p. DCHEM.

En comparant ces egalites aux ^galites (46). on voit imn
que Ton doit avoir

P*- E F'(a) (JAd&'
, ^ __ I F(&) d\i^

(48) ' P"- Er(¥j<>B«^&'



pi- — Tf I.-'/



I F(S) d'/J



E F'(2r) dL di
.f = 5 + Aa 4- B(3 + . . . + LX



L'egalite
donne

ou, en tenant compte des egalites (^5),
L'egalite (34) donne alors

(^°> s=-EF^)i-

On a d'ailleurs

E[U-F(S)S]=:5 + Aa + B(3+... + LX.

Cette egaljte, jointe aux egalites (45) et (5o), donne
(5.) u_g|^j-j=^^-A^-B^-...-L^

L'egalite

^^9) d^ = -i



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SIR LES EQUATIONS GENERALES DE LA THERMODYNAMIQUE.

donne aussi



2G5






d«/) dL



dL dSr <^&



On en deduit, en tenant compte des egalites (4^)'

Ei¥'(^)d^- [F'(2r)]* d&)

iiF(^)d'}} F(&)F^(&) ^
■~ E|F'(3r)<^^' [F'(&)]* a^



c)A



dB



■^P^5^^P»^-^-



PL



dL

d^'



ou bien, en tenant compte de la derniere des egalites (38) et de la
derniere des egalites (46)»



(52)



1 i F(&) d^5 F(&)F^(^) d}]\
LF'(&)]« (^^1



y~~ E|F(2r) (?&«



Les egalites (45), (48), (5o), (5i), (52) conduisent a la conclusion
suivante :

5/, pour an sysleme, on connait lafonction

5(A, B, ...,L,^),

on saity par de simples differentiations, obtenir les valeurs que les para-
metres a, j5, . . ., yprennent, a la temperature 2r, dans le systeme en equi-
libre sous V action des forces A, B, . . . , L, Venergie interne du systeme,
son entropie et tous ses coefficients calorifiques.

C'est a M. JMassieu qu'est due cette belle proposition.

Le role que joue la fonction ft lorsque Ton prend pour variables les
quantites A, B, ..., L, S est tout a fait analogue au role que joue
la fonction .? lorsque Ton prend pour variables les quantites a, [i, ...,
X, &. Aussi M. Massieu donne-t-il aux deux fonctions j et 5 le nom de
fonctions caracteristiques.

Anu, de VEc, Norm, 3* Seri<». Tome VIII.— Septembre iSgi. Va



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206 p. DUHEM. — SUR LES EQUATIONS GENfeRALES DE LA THERMODYNAMIQUF..

Si I'on prend pour temperature la temperature ahsolue, les egalites
(',8), (5o), (5i), (52) deviennent

P*- "EdArfT'

(^8 his) <'P"~ EdB<)T'






(ao bis)








(5 1 bis)


^-e(''>-


x*^.') ^^."i u^}y

dT d\ rfB




(53 bis)




T d*^
' E <?T« ■





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MEMOIRE

81 R LES

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE

(ftCITS),

Par M. Paul PAINLEVE,

CHARGE UE COVRS A LA PACVLTE DE8 SCIENCES DB LILLE.



CHAPITRE IV.



DE L'INTfeGRATION DES EQUATIONS DIFFfiRENTIELLES DONT L'INTfiGRALE
G£n£RALE N'ADMET QU'UN NOMBRE DONNfi n DE DETERMINATIONS SE
PERMUTANT AUTOUR DES POINTS CRITiQUES MOBILES.



1. Les resultats que nous avons obtenus dans Ic Cliapitre prece-
dent ne s'appliquent jamais au cas ou le genre p de Tequation diffe-
rentielle

(0 F[7,/,(^)] = o

est nul. Nous allons maintenant trailer un probleme dont la solution
embrasse les equations (i) de genre quelconque, en particulier los
equations de premier degre eny

/=R[j,(x)].

Nous nous proposons de reconnailre si V integrate generate de {\)
nadmet qu'un nombre donne n de valeurs se permutant autour dcs
points critiques mobites.



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268 p. PAINLEVE.

Rappelons-nous, pour trailer cette question, les propositions gene-
rales etablies dans le premier Ghapitre :

Si Tintegrale est de I'espece indiquee, elle se laisse definir par la
relation

dans cette egalite, R, designe une fonction rationnelle de jo» v„;
quant a j^o* X^^® sont les valeurs pour^^de Tintegraleparticuliereel
de sa derivee; ces valeurs verifient la condition

(')' F[/o,ri,(^o)] = o.

Les R„ Ry d'une part, les R,, - r-^ d'autre part, sont lies par des re-
lations algebriquesqu'on forme en eliminantyotji entre cesquantites
et Tequation (i). Par exemple, si R, depend effectivement de la con-
stante d'integration (yo»7i)» O" P^ut donner a ces equations la forme

r; = ?[Ri>(^)L

R, = ^i[R/,(^)],

R,:=^,[R,,(a7)],



|(,.==»ir«[R„(x)],



les T, 9 etant algebriques en R,.

Quand n est le nombre exact des branches de y qui se permutent
autour des points critiques mobiles, nous savons qu*il n*existe qu*un
systeme distinct de telles relations.

Les fonctions R/(^) ont leurs points critiques fixes. D'autre part, on a

Ri-=R/[jo,/i,(^)]=v; - »A;[jo,(^)]+/o'"-*Af[7o,(^)]^-... + An^^^^^

Dans cette egalite, les quantites Af sont des fonctions rationnelles
en Jo- Nous allons chercher a determiner une limite superieurc du
degre enjo des deux polynomes dont A;f est le quotient.

Pour cela, nous ferons usage d'uoe seconde forme dc Tintegrale de
I'equation (i)

dans laquelle/est, comme Ton salt, un polynome de degre mn par



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SLR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE. lt)()

rapport a chacune des lettres y et jo- Supposons qu'on ait ramone i\
Tunite le coefficient de y"^" dans

/[/»/o,(^)];

designons par/i ce que devient/; nous pouvons ecrire

/x[j»7o,(^)l = r*''-i-B»[7o,(J^)]7'«'-'-^...-*-B/««[yo,(^)]^-o.

Dans cette equation, les B/ sont des fractions rationnelles dont les
deux termes sont au plus de degre mn en y^.

Les mn valeurs de y qui correspondent a chaque valeur de Vo so
decoinposent de la maniere suivante en m groupes formes chacun de
n valeurs :

A chaque valeur de y^ correspondent m valeurs de y^. Soient 5,,
5^, . .., z„^ ces m valeurs. A chaque systeme de valeurs de (jo* v« )
correspondent les determinations d'une meme integrate. Appelons R-,
R?, ..., R^ les valeurs de R, qui correspondent a y^; en d'antres
termes, posons

R/=R/[ro.^o(^)].

Posons encore

\, = x[j,.>'o,^i.(^)]=/'*+r-*Ri+r-'Ri+-..-^Ri

et de meme

x,= \[/,vo,5„(j:)]=:r4-r-'R?^-r-'Ri-H...-+-Rj
=^7"-^7'-*(A?5r'+...-i-Ar)-+-...^(Ai^r»4-...+A;r),

On a identiquemcnt

(3) /,[7,/o,(^)] = X,\....X,.

Les coefficients des puissances de/sont, dans le premier membre
de Tequation (3), des fonctions de jo qui sont au plus de degre mn
en y^; dans le second membre, ce sont des fonctions entieres des
quantites A/, et les coefficients de ces fonctions sont cux-memes des
fonctions symetriques de z^, 5^, ..., s,^, et, par suite, s'expriment



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/



270 p. PAINLEVfe.

rationnellement en fonction des coefficients a de Tequation

On pent aisement, pour chaque valeur donnee de m, calcuier ees
fonctions symetriques en fonction des a. Elles sont de la forme

rhacun des nombres p., [x', ...; etant au plus egal a (m — i) il nous
suHit, pour le but que nous nous proposons d'atteindre, de calcuier
une limite superieure de leur degre eny©. D'apres la theorie des fonc-
tions symetriques, une telle fonction S est une fonction entiere des
quantites a, et cette fonction entiere est au plus de degre m{m — i) par
rapport aux a. Si n' designe le degre le plus eleve auquel y^ figure
dans Texpression des quantites a, les quantites S seront au plus de
degre

en Jo-
Dans chacun des deux membres de Tequation (3), le coefficient de
y""'*' est egal a Tunite. En egalant respectivement les coefficients de
^i/i-< yn/i-2^ ..., j^dans le premier membre de I'equation (3), aux
coefficients dey"'"*,j'''"'"*, .. ., v® dans le second membre, nous obte-
nons mn equations, liant entre elles les mn quantites A^. Cbacune de
ces equations pent s*ecrire sous la forme suivante

(4) y S^[^>'«' (^o)]?ii(A}, . . . A/ . . . A-) = B[7o, (X)],

les 9^ designant des fonctions entieres des Af.

Parmi ces equations, les {m — i) premieres sont respectivement de

degre 1,2 (m — i) par rapport aux k{. Toutes les autres sont de

degre m.

Par rapport aux quantites jo» '^s coefficients S^^ sont au plus de
degre v, et les quantites B sont au plus de degre mn,

D'ailleurs, le systeme des equations (4) n'est jamais indetermine,
sinon on pourrait trouver, pour chaque valeur de y^ et de a?, une infi-
nite de valeurs des quantites A^ verifiant les equations (4), et la
quantite



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SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 27 1

qui est un polynome en y, serait, par suite, decomposable d'une infi-
nite de manieres en un produit

X| Xj . . . X,rt

de m facteurs de degre n en j, ce qui est absurde.

Si done, entre les equations (4)> nous eliminons {mn — i) des quan-
tites Af, nous obtenons une relation de la forme

qui, pour chaque valeur de j?, lie a y^ la quantite A^ restante.

G est un polynome en k{ et en y^. Son degre en k{ est au plus
egal a

1 .2.3 . . . /Tim"*^" - '^

Mais, ce qui nous importe, c'est de trouver une limite superieure
de son degre en jo-

Pour Tobtenir, nous remarquerons que toutes les equations (4)
sont au plus de degre N par rapport aux variables k{ ct y©, N desi-
gnant le plus grand des deux nombres

mn et /»-h v=: /w(/i'-k i) — n! .
Le degre auquel figure jo dans le polynome

r,[A^,7„(j7)]

est done au plus egal a

J'ajoute que, si (/n-h v) est superieur a mn, cas auquel N est egal a
(/n + v), on pent remplacer N par un nombre moindre, pour les
{m — i) premieres equations, ce qui conduit a prendre pour P une va-
j leur moindre.

La fraction ralionnelle A/ fj®, (a;)] doit done verifier une equation

G[A/,7o,(^)] = o,

oil y figure au plus au degre P.

Mettons G sous forme entiere par rapport aux A/ et aux Vo : le nu-
merateur et le denominateur de A^ doivent diviser les deux coeffi-



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2-] '2 P. PAINLEVE.

cients extremes du polyn6me en A/. Les deux termes de la fraction
rationnelle A^( Vot x) sont done au plus de degre P en v©.

Celte limite superieure de P est tres elevee : dans chaque cas parli-
culier, on pourra Tabaisser notablement. Pour deux nombres donnes,
m et /2, sans rien supposer sur Inequation (i), on obtiendrait une
limite tres inferieure a la precedente en operant ainsi.

On forme facilement, pour metn donnes, les quantites

?a.(...A;...)

qui figurent dans les relations (4). Entre ces equations (4) on effectue
Telimination de (mn — i) des quantites Af en traitant les quantiles
^a(vo) comme des constantes quelconques. On arrive ainsi a une rela-
tion oil figure celle des quantites Aj que Ton n*a pas eliminee, AJ par
exemple, et les quantites S^, Rj. On connait une limite superieure des
degres des S^, B, en j©; on connaitra, par suite, une limite superieure
du degre en y© de I'equation qui donne A] ; cette limite est aussi celle
du degre des deux termes de A\ ; on operera de meme pour toutes les
quantites A^.

La nouvelle limite ainsi trouvee vaut pour toutes les equations de
degre m en y , dont Tintegrale prend n valeurs autour des points cri-
tiques mobiles. Pour une equation differentielle particuliere donnee,
en exprimant les S^ en fonction de jo» on abaissera encore cette
limite.

Mais le fait important qu'il nous faut retenir pour 1 instant, c*est
{\\xon peut toujours determiner une limite superieure P du degre auquel
Jo fiS^^^^ ^^^^ ^^ ^/ • ^' suffit de prendre

P=:N'"«;

N designe le plus grand des deux nombres ]

mn el m{n' -^ \) — n' \

n' est le degre en y de Tequation (i) pour x = x^.
Revenons maintenant a Tetude des quantites

D'apres ce qui precede, elles sont au plus de degre P eny„.



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SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 278

Si done on elimine /o ^ty© cntre les trois relations

R/=H,[/o,/o,(^)],
F[ro,/o»('3^o)] = o,

Tequation algebrique et entiere en R, ^ a laquelle on parvient est
au plus de degre Q/, Q/ se calculant aussitot a Taide de P.
De meme, si Ton eliminejo* Jo entre les relations

R,=:R,[jo,y;,(^)],
Ry=Ry[ro,/o.(^)],

on obtient une equation

^/,y[RMRy,(^)] = o,

dont le premier membre est de degre au plus egal a Q,y.
Nous pouvons done ecrire un systeme de relations

I<p[r„r;., (^)]=:o,
ij;,-,i [R/,R„(j7)]=o,
• »
d.,,„[R„R„(^)] = o,

oil les polynomes 9, ^ij ont des degres respectivement egaux a Q/,

Exprimons, d'une part, que Tequation

9 =
a ses points critiques fixes; d'autre part, que les equations

definissent un systeme de fonctions Ri(^),R2(^)» •••» R«(^) en fonc-
tion de R, et de x dont les points critiques sont egalement fixes; enfin
que le systeme des fonctions R,, R2, . . . , R„, transports dans la rela-
tion

7«-h R(„_,)y''-^ + . . .4- Ro= o,

definit Tintegrale de Tequation (i). Nous obtenons ainsi un cer-

j4nn, de l'P,c, Normale. 3« Serie. Tome VIII. — Septemdre 1891. 35



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274 P- PAlNLEVt.

tain nombre de conditions algebriques entre les coefficients inde-
termines a(ar), b(x), ... des polyndmes 9, ^ et leurs derivees

da db
dx dx

On reconnait, par des operations purement algebriques, si ces con-
ditions sont compatibles. Quand elles le sont, par quelles operations
sont determines des coefficients 0(0;), 6(0;), ...?

Rappelons-nousque, si n valeurs se permutent eflectivement autour
des points critiques mobiles, il ne saurait exister deux systemes dis-
tincts de relations (5). Pour eviter toute ambiguite, supposons que,
dans ^/,y, le terme de degre le plus eleve en R,, Ry ait pour coefficient
Tunite, de meme que dans 9 le terme de degre le plus eleve en R/, R|.
Dans ces conditions, on a

+/.y[R/,Ry, (^)] = nf[R„Ry,(^)],

p etant un certain entier et 11/ une fonction de R,, Ry,(ip) bien deter-
minee, entiere et irreductible par rapport a R,, Ry. II en est de meme
pour 9.

D'apres cela, si les conditions qui assujettissent les a^ sont compa-
tibles et indeterminees, c'est que Tintegrale des (i)prend un nombre
n' de valeurs inferieur a n autour des points critiques mobiles, II faut
done essayer les nombres n! plus petits que /i.

Quand les conditions sont compatibles et determinees, 11 peut arri-
ver que plusieurs systemes a, 6, ..., les verifient. Mais il suffit de



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