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comme nous I'avons explique, de faire reposer (oute la theorie des
fonctions (*), peuvent s'etablir a Taide des generalites relatives aux
series quelconques, en y adjoignant au besoiu quelques proprietes
elementaires des polynomes entiers, de ceux notamment qui ne de*
pendent que d'une seule variable. Elles sont suffisamment connues
pour que nous puissions nous dispenser meme de les formuler : il
importe cependant d'insister un peu sur la condition de nullite iden-
tique, au sujet de laquelle nous proposerons Tenonce suivant :

Soienl
(8) /(^r.r, ...)^-2«/».7....•^''7'•••

&l somme d*une serie entierepar rapport aux n variables imaginaires x,
V, . . . ; 1/^, Vr, ..., n varianles imaginaires ayant toutes zero pour li-
milCy et remplissant en outre les deux conditions suii'antes : i° chacune
d'entre elles, consideree isolementy demeure constamment differente de
zero, aussitdt que la valeur de son indice surpasse quelque entier corn^ena-
blement choisi; 2° la quantite /{u^n, ^r» • • •) demeure constamment egale
a zero, aussitdt que les indices m^ r^ . . ., tous independants les uns des
autres, surpassent respectis^ement certains entiers.

Cela etant, la serie proposee a tous ses coefficients nuls.

I. Nous supposerons d'abord que Ic nombre des variables inde-
pendantes se reduise a i . En designant par

la somme de notre serie, on saitque le module de/(x) — a^ resle
inferieur a une quantite positive donnee, aussitdt que celui de x
tombe au-dessous de quelque quantite positive convenablement



(>) Nous signalerons comme les plus importantes celles qui so trouvenl formulees aux
pages 3^, 36 et 8o du Nouveau Precis de M. Mi^ray, puis la conlinuil6 (ii*) ot la condi-
tion de nullil6 identique.



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70 RIQUIER.

choisie. La variante u^ etant infiniment petite pour m infini, la va-
riante/(i/;„) — a^ Test done aussi, et, comme f{Um) fin*t par etre
constamment nul, il en resulle a^ = o.
Cela etant, si I'on pose

fx{x) z=z rt,-i-a,.r-i-as»r'-4-. . .,

d'ou

la variante /,(«,„) — a, est, comme tout a Theure, infiniment petite
pour/w infini; d'ailleurs, le produit «,n/i(wm) =/("/«) finissant par
etre constamment nul, et le premier factcur Uj^ constamment diffe-
rent de zero, le second facteur /< (w,„) finit par etre constamment nul,
d'oii Ton d^duit encore a, = o.
Posant alors

/j(j7)=i«j-4-a8J7-f-, . .,

d'oij

/(.r)^.rV«(^),

on demontrera de meme que a^ est nul, puis a,, etainsi de suite in-
definiment.

11. II suffit maintenant de faire voir que, si la proposition est exacte
pour une serie entiere dependant de /i — i variables, elle Test encore
pour la serie (8), dependant des n variables a:, j, ...• A cet effet,
ordonnons-la par rapport a a?, et mettons-la sous la forme

Ao(7' - O-^AiCj, ...)J^-^A,(7, ...)^'-H..-,
oil

(9> Ao(7, ...), A,(j', ...), A,(j, ...), ...

designcnt des series en tieres dependant des /i — i variables y

En ne considerant les indices /w, r, ... qu'a partir de valeurs suffi-
samment grandes, les variantes w^, Vr^ ... sont constamment difle-
rcntes de zero, et la quantite/(w;„, ^;., . . .) constamment egale a zero.
Dans ces limites, si Ton attribue aux n — \ indices r, . . . un systeme
determine de valeurs particulieres, I'expression

Ao(r,., ...)-+- A, (t',, ...)''mH-Ai(iV, ...)«?« + • ..



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SUR LES PRINCIPES DE LA THEORIE GENERALE DES FOiNCTIONS. 7 1

s'evanouit quelle que soit la valeur attribuee a /tz, puisque ce dernier
indice est independant des premiers, et Ton a par consequent (I)

Mais les indices r, ... elant a leur tour independants les uns des
autres et les valeurs particulieres que nous venons de leur attribuer
etant arbitraires, il resulte de I'exactitude supposee du theoreme
dans le cas de n — i variables que les coefficients des diverses series
(9) sont tous nuls, et par suite ceux de la proposee (8).

11. De la resulte immediatement la consequence suivante :

Soient f(^x^y,. ..), (p(£c,y, ...) les sommes de deux series entieres
par rapport aux n variables imaginaires x, y, . . . ; u„t, t^^, . . ., n va-
riantes imaginaires ayant toutes zero pour limite, et remplissant en outre
les deux conditions suivantes : i** chacune d'entre elleSy consideree isole-
ment, demeure constamment dij^erente de zero, aussitdt que la valeur de
son indice surpasse quelque entier convenablement choisi; 2® la difference

/(«/;/, tV, •••) — ?("/«. *Vt ...)

demeure constamment egale a zero, aussitdt que les indices /n, r, ....
ious independants les uns des autres, surpassent respectivement certains
entiers,

Cela etant, les coefficients des termes semblables dans les deux series
sont respectivement egaux.

12. Nous pouvons maintenant enoncer la propriete generalc qui doit,
a notre avis, servir de base a la theorie des fonctions. Nous en indi-
querons a la suite un certain nombre d autres, presque toutes eniprun-
tees a M. Meray, et qui, si Ton suppose connue la theorie des series
entieres, peuvent se deduire facilement de la propriete dont il s'agit.
Ces indications seront parfois accompagnees de demonstrations, et
nous aurons toujours soin, pour que la comparaison puisse etre facile-
nnent etablie, de renvoyer le lecteur aux passages correspondants de
rOuvrage de M. Meray.

En designant par x, y, ... des variables imaginaires en nombre



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72 RIQUIER.

quelconque, nous dirons qu'une fonction /(a?, j, ...), consideree dans
un espace normal (8), y est olotrope (*), si a chaque point (a?, j'f . .•)
de Tespace en question on peut faire correspondre quelque groupe de
quantites positives §^, S^,, ..., et quelque serie entierc en h, A, ..•,
jouissant conjointement des proprietes suivantes : i® cette serie admet
comme rayons de convergence les quantites S^, S^,, ...; 2** sa somme a
pour valeur f{x -h A, j -f- A, . . .), tant que les accroissements h, k, ...
ont des modules respectivenient inferieurs a S^, S^, . . ., et que le point
(.T -h A, y -h A, . . , ) tombe dans I'espace donne.

Les quantites §^, 8^, ... se nommeront alors les olometres de la fonc-
tion au point (a:,y, . . .).

Une fonction de n variables imaginaires, olotrope dans toute Teten-
due de I'espace a 2/1 dimensions, sera dite indefiniment olotrope.

11 ne faut jamais perdre de vue que notre definition d'une fonction
olotrope implique essentiellement la nature nonnale de V espace ou on la
considere. Faute de cette restriction, la theorie des fonctions olotropes
pecherait par la base : le lecteur devra done la sous-entendre constam-
ment dans toute la suite du present paragraphs alors meme que nous
ne la specifierions pas d'une maniere expresse.

13. Voici quelques exemples tres simples de fonctions olotropes (*).

I. Une fonction entiere est indefinimentolotrope, et admet en chaque
point des olometres de grandeur indefinie.

II. La fonction



(ar-^oKlr-Zo )''...



oil a?o 7o» ••• designent les coordonnees imaginaires d'un point fixe,
et />, y, ... des entiers positifs, est olotrope dans la portion d'espace
(evidemmentnormale) constituee parl'ensembledes points ou aucune
des differences x — £c„, y — r©. . . . ne s'evanouit, et elle admet comme
olometres au point {x,y^ ...) les modules de ces differences.

111. Lorsqu'une serie entiere en a? — ^0. y —Jo* • • • admet quelque
systeme de rayons de convergence (et par suite une infinite;, sa somme



(• ) Nouveau Prcvbi, p. 4^ et 43.
(») Ihid., p. 44 et 45.



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MAY 14 189!



SUR LES PRINCIPES DE LA TIIEOUIE GENERALE DES FONCTIONS. 73

a une valeur bien determinee en chaque point oil les differences .r — Xo,
V — j^o. ••• presenlent des modules respectivement inferieurs anx
rayons de quelqu'un des systemes; cette somme est done une fonction
(le or, V, . . dans Fespace (evidemment normal) forme par rensemblo
des points en question.

Cela pose, on prouve facilement : i® que la somme de notre serie
est une fonction olotropedeir,j, ... dansTespaceainsidefini; 2**qu'en
designant par a:, y, ... les coordonnees imaginaires d'un point quel-
conque de ce dernier, et par R^, R^, ... des rayons de convergence
choisis de maniere a rendre positives les differences

Rx— mod(ar — :ro), Ry— mod(j'— Vo), • -,

la fonction admet comme olometres en (oc,y, . . .) les differences dont
il s'agit.

1 4 (* ). Si une fonction f{x, r, . ..)est olotrope dans un espace donne,
les coefficienls du developpement de f(^x -h A, y -4- ^, . . . ) ^/t une serie
entiere par rapport a h^ k, ... sont des fonctions de a?, y, ... olotropes
dans le mSme espace ^ et admettant en chaque point de ret espace les olo-
metres de la proposee.

En premier lieu, cliacun des coefficients dont parle Tenonce a une
valeur determinee en tout point (a?, y, ...) de Tespace donne et peut
des lors y etre considere comme une fonction des memes variables in-
dependantes que la proposee. Designons, en effet, par (ar, j, . . .) un
point determine quelconque de cet espace, par A, ^, . . . des accroisse-
ments variables attribues aux valeurs initiates a?,^, . . ., et supposons
qu'a partir de ces dernieres la valeur de la fonction soit exprimable
par un premier developpement entier en A, A, ... avec les olometres
Ojp, Sy, . . ., puis par un second developpement de meme nature avec les
olometres o^, o^, .... Si Ton nomme alors o^, S'^, ... des quantites
positives satisfaisant aux relations






^^ = M



3,



(*) Nouveau Precis, p. |6.

Ann. de i'Ec. Xormale, 3* Serie. Tome VUI. — Mars 1891. 10



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74 RIQUIER.

les deux developpements dont il s'agitont des sommes egales tant que
le point

(lo) (j;^h,y-^k, ...),

sans sortir de Tespace propose, donne lieu aux inegalites

raod/i<d;, niodA<o;,

lis ont done leurs coefficients semblables respectivement egaux,
puisque cet espace est normal (8) (11).

En second lieu, si Ton designe par/y,,^...(j7, v, . . .) le coefficient de
hPkf^ ... dans le developpement de/(a? -f-/',y -h^, . . .)» '^ quantite

est exprimable, dans les memes limites que cette derniere, a Taide

d'une serie en A, k, EfTectivement, si le point (lo) de Tespace

considere donne lieu aux relations

mod h < (Jj:, mod k < 6^ , . . . ,

oil Oj;, 0^, ... designent les olometres de la fonclion proposee en
{x, y, . ..), el si le point

du meme espace donne lieu aux relations

mod h H- mod h' < d^^, mod k -\- mod k' < Oy, . . . ,

on pent, apres avoir developpe f{x -h A -h A', j -h * -h ^', . . . ) en une
serie entiere par rapport aux sommes h-\-h\ k-\- k\ . . ., transformer
celle-ci en une serie entiere par rapport a toutes les quantites A, X-, ....

h\ k\ Or, dans cette nouvelle serie ordonnee par rapport a h\

k\ ..., le coefficient de h'^k'^ ... constitue le developpement cherche
(le Texpression (i i).

15. Supposons actuellement qu'au lieu d'attribuer a toutes les va-
riables sans distinction des accroissements a partir de valeurs ini-
tiates determinees, on en attribue seulement a quelques-unes d'entre



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SUR LES PRINCIPES DE LA THEORIE GENERALE DES FONCTIONS. 7 5

elles. Partageons a cet effet les variables independantes en deux
groupes



X, . . . ,

/, ...,

et, considerant une fonction/(ar, . . ., j, . . .), olotrope dans un espace
donne, designons par {x, . . . , j, . . .) un point determin6 de cet espace,
par h, ... des accroissements attribues a or, . . .; supposons enfin que,

^x» • • • >

3^, ...
designant des constantes positives, la quantite

soit exprimable a I'aide d'une premiere serie entiere en A, ..., tant
que le point

(12) (a:-f-/i, ...,7, ...),

sans sortir de Tespace considere, donne lieu aux inegalites

mod/i<(5;c, ...;

puis, qu'elle soit de meme exprimable a Taide d'une deuxieme seric
entiere, tant que le point (12), sans sortir de Tespace en question,
donne lieu aux inegalites analogues

mod A <c 5^, ....

Si Ton nomme alors S^, ... des quantites positives satisfaisant aux
relations

"At

Ics deux developpements dont il s'agit ont des sommes egales, tant
que le point (12), sans sortir du meme espace, donne lieu aux rela-
tions

modA<3^, ...,

et il resulte encore des n°*8 ct H que les coefficients de leurs termes
semblables sont respectivement egaux.



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7() UIQIIKR.

En consequence, le devehppemenl unique de la quaniite

f{x-^h, ..., r, ...)
peut sobtenir en faisanl k = o, ... dans celui de la quaniite

f{x 4-//, .. ., )-+-A-. .. .).

16. Si Ton (lesigne par/(a7, y, .. .) une fonction olotrope dans un
espace donne, le tcrme indepcndant de A, A:, ... dans le developpe-
inent de f{x -h /i, v -h X:, . . .) est precisement f{x, y, . . .). Les coef-
ficients des premieres puissances de A, ^, ... se nomment les derivees
premieres de/(.r, v, • . .)» prises par rapport a x, y, ., . respeclivement.

En vertu du numero precedent, le coefficient de la premiere puis-
sance de h dans le developpemenl de /(.r -h A,y -h ^, ...) est le meme
que dans celui de/(^ + A, v, ...). Pour obtenir la derivee premiere
de f{x, y, . . .) par rapport a x, on peut done operer comme si x etait
la seule variable, en considerant les autres comme momentanement
reduites a des constantes, ce qui ramene toujours le calcul d'une de-
rivee premiere au cas d'une seule variable independante (*).

Comme les derivees de /(-c,r, ...) sont olotropes dans le meme
espace que la proposee et avec les memes olometres en chaque
point (11), elles ont des derivees jouissant de cette propriete; de
meme, pour celles-ci, leurs propres derivees, etainsi de suite indefi-
niment. Ces derivees de derivees sont les derivees partielles de tous
ordres de f{x^ y, . . .) (^).

On prouvera facilement :

i^ Qu'w//^ derivee d'ordre superieur depend uniquement des nombres
exprimant combien de fois on a derive par rapport a diaque variable ^
dans quelque ordre que ces operations partielles aient pu i^tre execu-
tees{^)\

2*' Que la derivee d' ordres partiels p, y, . . . de f(^x, y, . . .) est e'gale
au produit quon oblient en multipliant par le facteur numerique



(*) youvcau Precisy p. 47-

(») Ihld,, p. 4y.

(') Ihid.j p. 19 cl DO.



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SUR LES PRINCIPES DE L\ TIIEORIE GENEUALE DES FOXCTIONS. 77

I. 2. . ./?. • . 2. . . y. . . le coefficient de h^k^. . . dans le developpement de

17. Toute fonction olotrope est continue (14*).

Cette proposition resulte de la continuite des series entieres, com-
binee avec la definition du n" 12.

18. Si dans un espace (normal), oil la fonction f(^x,y^ . . .)des n varia-
bles imaginaires

est supposee olotrope, on considere une portion limitee et complete E (^nor-
maie ou non) (2), /e^ olometres def{x, y, . , ,) enun point variable de la
portion dont il sagit restent toujours au mains egaux a certaines quan-
lites positives fixes.

I. S*il existe dans la portion E quelque point oil Van au moins des
olometres tombe forcement au-dessous de la constante positii^e co, on peut,
suivant une loi bien determinee, assigner dans cette portion un point tel
que run au moins des olometres y soit forcement < co.

L'espace E, etant limite, se trouve entieremcnt contenu dans quelque
intervalle complexe ^, (3). Divisons en deux parties egales chacun
des 2/1 intervalles simples

<kX', x',k\\ y,hY\ /;aY% ...

de Tassociatibn desquels ce dernier resulte, ordonnons les intervalles
complexes partiels fournis par cette subdivision (6*, 11), et appe-
lons ^2 'c premier d'entre eux contenant quelque point de E oil Tun
au moins des olometres def(x,y, ...) tombe forcement au-dessous
de 0). En operant sur Tintervalle ^a comme nous Tavons fait sur^,,
et ainsi de suite indefiniment, nous obtiendrons une succession illi-
raitee d'intervalles complexes

jouissant de la triple propriete que nous allons enoncer :
1° Chacun d'eux fait entierement partie du precedent;



( * ) Nouveau Precis, p. 5 1 .



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78 RIQUIER.

2° Celui de rang q est forme d'intervalles simples ayant pour gran-
deurs respectives les valeurs numeriques de

^ — -^0 ^ '^0 '^ y^ * yp

3^ Chacun des intervalles (i3) contient quelque point de E oil Tun
au moins des olometres tombe forcement au-dessous de w.

Cela pose, nous designerons par {u\ la variante complexe (4*)
ayant pour coordonnees reelles les valeurs extremes minima des 2/1 in-
tervalles simples dont est forme ^^, et nous demontrerons successive-
ment les points suivants :

I** Z/a variante complexe (u)^ tend vers une limite (u), situee dans I* an
quelconque des intervalles (i3); car la distance des deux points (w)^,
(w)^^r» inferieure a

('4) ^v/(X'-x'or^(X'-o'-f-(r-.v;)*+(Y'-yo)*-H...,

est infiniment petite pour q infini, el le point {ji)q^r reste compris,
quel que soit r, dans Tcspace complet ^^ (4*) (5*).

2** Le point {\j^ fait necessairement partie de Vespace E.

Car, dans le cas contraire, Tintervalle ^^ contiendrait, en meme
temps que (u), quelque point de I'espace dont il s'agit, et la distance
de (u) a un pareil point pourrait ainsi devenir inferieure a la quan-
tite (i4)> par suite a toute quantite donnee. Or c'est la une conclu-
sion absurde, puisque I'espace donne est complet, et que le point (u),
s'il n'y est pas compris, ne pent lui etre que completement exte-
rieur (2).

3** Les olometres def{x,y^ . . .) au point (u ) ne peuvent etre d la fois
super ieurs a o).

Supposons, en cffet, qu'ils le soient tous, designons par ?, yj,...
les coordonnees imaginaires du point (u), par S5, S^j, ... les olometres
dont il s'agit, et para?, y, ... les coordonnees imaginaires d'un point
quelconque commun a E et a ^^. A partir d'une valeur de q suffisam-
ment grande, les modules de .r — 5, y — yj, ... tombent au-dessous
de toute quantite donnee, parce qu'ils sont inferieurs a Texpres-



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SCR LES PRINCIPES DE LA THEORIE GENERALE DES FOXCTIONS. 79

sion(i4). Des lors, les olometres de la fonction en ^, ^, . .., au moins
egaux aux differences

d^— mod(jc — 0, 5^— mod (7 — -m), ...

(13, III), deviennent superieurs a co pour q suffisamment grand, cc
qui est impossible, puisque le point (a:, y, ...) pent toujours etre
choisi de maniere que Tun au moins des olometres y tombe forcement
au-dessous de cette quantite.

II. Adoplons pour un instant la conclusion contraire a celle de notre
enonee general, et admettons que, en designant par o) une quantite
positive de petitesse arbitraire, il existe quelque point de E oii Tun
au moins des olometres tombe forcement au-dessous de w. En desi-
gnant par m un en tier positif arbitraire, et prenant (o = ~, il exislo,
d'apres Talinea I, quelque variante complexe (4*)

tombant constamment dans Tespace E, et telle que, au point (r),„, Tun
au moins des olometres de /(^,j, ...) soit forcement ^ — • La va-
riante {y^m i^e sortant jamais d'un espace limite, une variante

convenablement extra! te de (i'm), sera convcrgente (6*), et Tun au
moins des olometres de f{oc,y, . . .) y sera forcement inferieur ou au

plus egal a la variante infiniment petite — ; sa limite (S, H, . ..) sera

d'ailleurs situee dans Tespace E (5*). Or, si Ton nomme Sr, o„, ...
les olometres de la fonction en (S, H, ...), celle-ci admettra en
(j?^*\ v-*\ ...) des olometres au moins egaux a

32— mod(E — ^-^-^0, 3h— niod(H— j'^0» ■•-

c'est-a-dire a des quantites tendant vers les limites positives ot,
Sh, ... pour k infini, et finissant, contrairement a ce qui precede, par

etre toutes superieures a la variante infiniment petite —



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8o MoriER.

10. Etant donnes une fonclion olotrope dans un espace {normal)
qiielconque, el un arc continu trace dans cet espace, les olometres de la
fonction en un point loanable de Varc dont il s'agit restent toujours au
moins egaux a certaines quantites positives fixes.

I . En designant par

Zf • • • >

,S C, ...

deux groupes de variables reelles en nombres respectivement quelconques,
si les fonctions reelles

(«.*>) Z(.s/, ...), ...,

en mSme nombre que les variables du premier groupe, sont toutes conti-
nues (7*) dans un m6me espace E,,^,... , et si le point obtenupar V associa-
tion de leurs vaJeurs (i5) ne sort jamais d'un espace Eg^... oil la fonction
reellef^z^ . . ,)jouisse de cette propriete\ la fonction

/[Z(.v,^...), ...]
est continue dans l' espace E,, ,,....
Soiont en effet

(.Vo./o' ...) un point fixe de E,,,,...;

:?„, ... les valeurs correspondantes des fonctions (i 5);

a un nombre positif choisi a volonle;

^ un deuxieine nombre positif tel que la difference

/(.-, ...)-/(3o, ...)

soit numeriquement inferieure a a, toutes les fois que le point (:?, ... )
de Tespace E^ ... satisfait aux relalions

val. num. (z — Zo)<^, . . .;
Y un dernier nombre positif tel que les differences

Z(s,t, ...) — Z(.?o, ^0, '■'),



soient toutes numeriquement inferieures a ^, des que le point (s, /,...)



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SUR LES PRINCIPES DE LK THI&ORIE G^NI&RALE DES FONCTIONS. 8 1

de Fespace E,.,,... satisfait aux relations

(i6) val. num. (5 — 5o)<y, val. num. (/— - ^o) <7»

Cela pose, on voit immediatement que la difl'erence

/[Z{^,^...),...]-/[Z(^o,^o, ...),...]

est numeriquement inferieure a a, des que le point (5, /,...) de Tes-
pace E,,,,... satisfait aux inegaliles (iG).

II. Si Ton designe par m un entier positif, et que Ton considere la
fonction reelle et positive "\z dans Tespace que definit la relation
::^o, il suffit, pour que la difference de deux valeurs de la fonction
soit numeriquement inferieure a a, que la difference des valeurs de z
soit numeriquement inferieure a a"'.

.4 plus forte raison cette fonction est-elle continue dans Vespace dont il
sagit.

III. Si, dans Vespace indefini relatif au groupe des variables 5, . . . ,
on considere un arc continu dependant du groupe des variables reelles s,
/, . . . (3), la distance du point fixe (s^, . . .) de cet espace a un point
variable (5, . . .) de cet arc est une fonction continue de 5, /, ... dans
I'intervalle complexe oil ces dernieres quantites sont a^sujetties a se mou{>oir,

II suffit d'observer que la distance en question se deduit de Tcxpres-
sion

en y rempla^ant les variables z, ... par leurs valeurs tirees des for-
mules qui definissent Tare, puis de combiner avec la continuite des
functions entieres les alineas I et II du present numero.

IV. Comme un intervalle complexe jouit evidemment de la propriete
d'etre limite et complet (2), il resulte en particulier de Talinea III :
I** que la distance au point (o, . . .) d'un point variable (5, . . .) de Tare
reste constamment inferieure a quelque quantite fixe (10*); 2° que
la distance du meme point variable a un point fixe {z^^ . . .) non situe
sur Tare reste constamment superieure a quelque quantite positive
fixe (11*).

La proposition que nous avons en vue se presente alors comme une
consequence immediate de celle du numero precedent.

j4nn. de I' Ac, Normale. 3" Serie. Tome VHI. — Mars 1891. 1 i



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8 2 RIQLIER.

20 (*). Soienl

fi^^y* •••) une Jonction ololrope admetlanl comme olometres les con-
stantes positives S^, S^, ... dans une portion Umitee {normale ou non)
de Vespace oil on la considere;

0^., 0,., . . . des constantes positives respectivement inferieures aiix prere-
denies ;

le developpement de la fonction proposee par la formule de Taylor a
partir des valeurs initiates ^, y, ...

Cela etant, on pent assigner une quantite positive au-dessous de laquelle
tomhe constamment le module du developpement (17), pour tous les sys-
femes de valeurs de x, y, ... correspondant aux divers points de la por-
tion Umitee dont ilsagit, et pour toutes les valeurs de h, t, ... de modules
respectivement inferieurs ou egaux a S^, S'^,

21 (*). Si du developpement (17) on extrait une sine pirtielle en y
prenant tels termes quon voudrUy et les divisant par tel monome entier
en h, k, .,., h^k'^ . ,., quils pourraient avoir comme facteur commun, la
somme des modules reste, dans les limites ci-dessus specifie.es (20), con-
stamment inferieure a quelque quantite positive fixe,

22 ('). Soient f{x,y^ . . .) une fonction olotrope admettant les olo-
metres 5j., 0^., . . . dans une portion determinee de Vespace oil on la consi-
dere, et S^., S'^, . . . des quantites positives respectivement inferieures (i



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