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En remplagant dans (4) et (4 his) cos(^sin£) et cos(a?cos£) par dcs
exponeDtielleSs et prenant les limites o et tt, on a encore

Les formules qui precedent sont elablies dans le cas oil le parambtre n
est en tier. Si Ton considere la derniere expression^ avcc un parametre
quelconque v, soit

(-V

(' bis) Jv(x)=::4= / f e''~«» sink's r/£,

on pent demontrer, comme Ta fait M. Lommel, que cette fonction
satisfait aux relations fondamentales qui caracterisent les fonctions
cylindriques, savoir

2V

X



dx



^-yz — J»-i — Jv^i>



formules analogues a (35) et (36), § I; cette expression repr^sente
done une fonction de Fourier pour toute valeur de v,

25. Dans ses recherches sur la fonction Jy(a;), M. Anger demon tre
que les fonctions representees par les formules (3), ou le parambtre est
entier, jouissent des proprietes (A) et (B). Pour cela, il suit une voie



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iTUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 4?

loule diff(6rente de celles indiquees jusqirici. En appliquanl la metbode
de developpement de Fourier, et en ayant egard aux formules (3), it
pose

cos(arsine) = Jo(a?) •+- aJ,(j?) cosae -h a 14(0?) cos 4 e 4- 2Je(j:) cos6e -h. . .
sin(j:sine)=: 2jj(jr)sine -f- aj,(^)sin3e -+- 2j5(jr) sinSs -h. . .;

il.remplace ensuile s par - — e, ce qui donne

COS(jrcose) = Jo(d:) — 2j,(a:)coS2e-h2Jv(j:)cos4s — 2Je(a?)cos6e -h. . .
Sin(j7COSs) = 2Ji(a:)C0S£ — 2j,(x)COS3e 4- 2J,(J7) C0S5£— . . .;

il differentie ces dernieres equations d*abord par rapport a €, puis par
rapport k x; et c'est en comparant cbaque fois les relations ainsi obte-
nuesavec les precedentes, multipliees respectiyement parsing et cos£,
qu'il obtient les relations (A) et (B), par lesquelles on defmit les fone-
tioQS cylindriques.

M. Neumann deduit de ces developpements une autre forme pour
i„{x). H observe que Ton pent 6crire.

C0s(xc0S6) = Jo(a?) 4- 2i*J,(j?) C0S2e -h2i^J^{x) cos4e -+-. . .
lsin(j7C0Se)= 2«Ji(;r)C0Se -h2l'J,(d?)cOs3e-h. . .;

de Ik il deduit, par addition,

n=. »

e'*'»»'= Jo(J?) 4-2% e'»J«(a:)cos/ie,

et, par suite,
d'oii

(8) J^(a:) = i-^p- / e"«»**cos/ieefe,

formule valable pour tout parametre entier, pair ou impair.
M. Schlomilch a public dans son Journal (*) un Memoire sur la

(«) Zcitschriftfur MathemtUik undPhfsik, etc.



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S. 48 J, NICOLAS.

transcendante de Bessel. II prend pour point de depart la relation
suivante :

En changeant ici w en — - et reciproquement, il conclut d*abord
qu'on a

en prenant d*un cdte la derivee par rapport a u, qui est pour le pre-
mier niembre — f I -f- ^)^* " ; dePautre, en multipliant la relation

preeedenle par — f I + -^)> et egalant enlre eux les coefficients des
memes puissances de Uy il obtient la relation

(it) —Jn—Jn~l -HJ/i-fi.



JTM X



Si Ton muUiplie enlre eux les developpenients e* et e •", on ob-
tient, pour les coefficients des diverses puissances de u.



^ I.I I. a. I .2 1 .2.3. 1.3.3

1 L '-2 1.2.3.3 1.2.3.3.3.4 J

J,(-r) - 7;^Li rr -^ 7X34 ~ 1. 2. 3. 3. 4.5 "*"•• J'

et generalemeot

^^^'''•^^^""i,2,3,../iL i(/i4-i)"^i.a(/i-+-i)(/H-3) i.3.3i/i-f-i)l/i-ha)(/i-h3) "''•J'



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i;TDDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 49

De cette serie, en differentiant le terme



/^y+tp







I . 2 . 3 . . . /> . 1 . 2 . . . n ( /I -M ) ( /IH- 2 ) . . , ( /I -f- /> ) '

on deduit
i.2.3.../>.i.2.../i(n4-i)(/i-h2)...(n-i-/>) ■"" 2 i.2.3.../>,i.2.../i(/i4-i)...(n-H/> — i)

^ li ,

"^2 I.2.,.(/>— l)l. 2... Al(/l-M).. .(/!-+-/>)'

et de la on conclut sans peine la relation

ce qui montre que la fonction J^ est une fonction de Fourier.

26. Dans son Memoire sur les fonctions de Fourier et Bessel (*),
M. Heine fait remarquer que les fonctions qu'il appelle cylindriques
peuvent etre consid^r^es comme limites des fonctions spheriques de
premiere et deuxifeme espfece; mais, sans passer par ces considerations,
qui n^cessitent une longue etude, cet auleur demoutre que les fonc-
tions cylindriques sont representees par les forniules (7) et (8).

II pose

(i4) c*«>»'=/o(a:)4- 2/, (a?) cos e 4- 2/, ( J?) COS 2 e -4-. . . -h 2/, (or) COS n e -+- . . .;

muttipliant par cosne dt et integrant entre z^ro et n, il deduit de la

/„{x) = ^ I ^«»»*cos/iee/e

_ ^^ I" a?' a:* 1

"~ 2.4.6. ..2/1 L 2(2/n-2) a.4(a/i-H 2)(2/i -+-4) ••"J*



(») Joumai de Crelle, I. 69.

jinn, de VEc, Normale, a* Serie. Tome XI. S. 7



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S. 5o J. NICOLAS.

Celte fonction ne se confond pas exactement avec i„{x), inais il est fa-
cile (le voir qu'on a

etque, prise sous la forme j=: / e-^^^^cosntdtf elle represente une

Jo

integrate par(iculiere de Tequation dilferenlielle (i bis)^ § I, savoir :

Si Ton substitue en effel a y dans cette dernifere equation Tinlegrale
definie / e^'^^'^^'coswe rfe, on obtient

Ja

a) x^ ^^ -^ X -r- — (J7*+ '**)j''~— [e -*«»*• (vC sins COS «E 4- /I sin /<£)]*,
cix^ ax /^ u /J a

et les limites pour lesquelles s'annule cette dernifere expression sont
6 = 0, 6 = X, et la valeur infinie pour laquelle e^«o»« s'evanouit. C'esl
ainsi qu'on arrive pour Tequation differentielle (i5) aux deux inle-
grales

(16) /«(^)~-/ e-^~»'cos/iec/£,

(17) Yn{x)^f e-*"«"cos/ii6c/s,



ou



^•+-«



(16 bis) /„(x)z=:— f c-*"»-^"»'e/e,

(17 bis) ¥n{^) — - I e-'^-'-^'f/e,

A la relation (16) on peut, comme Tobserve M. Heine, appliquer la
formule de transformation de Jacobi, et Ton a

•' ' ' IT I.3.0...(2/«— l)J



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l^TUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 5r

Or, en substituant dans Tequatioo differentielle (i5) Tintegrale
y=af f e^^^^'^^sin^^erfe, on oblient

Les limites qui annulent le second membre sonl e = o, £ = ?:, et la
valeur infinie de £ qui annule e~^co«8 q^ an-ive ainsi aux deux nou-
velles formes

(i8) /„(j:)=:A^» f e-*«»»'sin««e£/e,

t/O

(19) Fn(x)r=Bx'» f e-^^o'^'sin^^ieflfe,

et, dans les deux cas, M. Heine represente la fonction de deuxifeme espfece
sous la meine forme que celle de premiere espece.

Remarque. — Ces derniferes formes sont applicables quelle que soil
la valeur du parametre n, qu'elle soit entiere ou fractionnaire; c'est ce
qui r^sulte de la condition [b). Au contraire, la relation (a) montre
que la formule (16) ne peut etre employee que si n est un nombre en-
tier. Toutefois, lorsque n est un nombre rationnel et fractionnaire,
ayant pour denominateur $, la m^me integrate satisfait a la condi-
tion (a), si elle est prise entre z6ro et $77.

27. M. Hermann Hankel a publie, dans les Mathematische AnfiaUn ( * ),
un Memoire sur les fonctions cylindriques de premiere et de deuxiemo
espfece. En partant de Tequation diff^rentielle (i), § I, il arrive a Tinle-
grale (6), mise sous la forme

et, pour determiner les limites (a) et (6), il observe que, pour satisfair e
(1) Clbbsch et Neumann, 1. 1, p. 467.



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S. 52 J. NICOLAS.

h Tequation difTereDlielle, on doit avoir

Si Ton a v-4-5>o, ou v> — ^, cette expression s'annule pour
M = 4- I , a = — I et u = 00 1; de la resultent les Irois integrates sui-
vanles

(a) x^ I c^«(M«— I) ««/«,

(b) X' j e<^-(a«— I)' *du,

(c) X' j e'-^«(a«— I) *du,

entre lesquelles on doit avoir la, relation lineaire

•^—1 *^+l •^•ei



— 1



Dans ces inlegrales on va d'une linoite k Tautre par une ligne simple
qui ne contourne ancun des points de ramification. On obiient une
autre classe d'integrales si,aa cootraire, la courbe d*inlegratioD revienl
a son point de depart en contouraant un oo deux de ces points. De
cette faQoa on a cinq iategrales Bouvelles

(d) x^ I e^^''{u^ - i) ^du.



" 1 e''"(w*— i) *du,



(e) x^

J mi

dans la premiere la courbe d'int^gration enveloppe le point I^ = — i ;
dans la seconde elle contourne le point I^ = + l; enfin la derniere
peut etre prise sur trois contours distincts, enlourant Pun le point
a = 4- It Tautre le point a = — i , et le troisifeme ces deux points a
la fois. On a ainsi huit formes d'integrales. II est evident que chacune



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ETUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 53

de ces integrates doit etre une fonction lin^aire de deux autres, et c*est
ce que Tauteur met en evidence dans la suite de son Memoire.

Ce n'est pas tout, comme Tequalion differentielie (i), § I, ne change
pas quand on remplace ■+■ v par — v, on pent aussi prendre pour in-
tegrate I'expression

( 9. 1 ) y — x-" j e'*»( a' — I ) * duy

et determiner Ics limiles par la condition

Si Ton a — v -h .j > o, ou v < ^, c'est-k-dire si v decroit depuis -4-^
jusqu*a — 00 » cette derniere expression s'annule aussi pour w= h- i,
w = — 1 et 1/ = 30 1; et Ton deduit de (21) huit nouvelles formes d'inle-
grales, analogues aux precedentes. Mais il faut remarquer que ces huit
integrales ne peuvent etre prises en mSme temps que les huit prece-
dentes (ce qui porte alors le nombre k seize), que dans le cas oil le pa-
ram^tre v satisfait a la double condition v-H5>o ou v> - ^, et
— V -h ^ > o, e'est-a-dire v < j, ou, en d*autres termes, lorsque v est
compris entre — j et -f-j. Lorsque cela n'a pas lieu, c'est-a-dire
lorsqu'on a v>^ ouv< — ^, 'la dernifere expression ou la premiere
ne s'annulent que, pour u = coi, et Ton n'a alors que trois nouvelles
integrales analogues k (/), {g), (A), ce qui reduit le nombre total a onze.



V.

fiTUDE DE NOUVELI^S INTfeGRALES.



28. Dans le cours de mes recherches j*ai ete conduit a la forme
nouvelle

(I) \,(z)=z — / e(^-^*)«"*cos[v£-h(5 — i)sine]^/£,



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S. 54 J. NICOLAS.

qui represente la fonction Yv avec la variable z, et se rapproche do
eelle donn^e parBessel.

II est facile de demoDtrer que cette fonction, quand le parametre
est entier, jouit des proprieles qui caracterisent les fonctions cylin-
driques. On a, en effet,



dV^z) 1 -•*



dz 2TzJ^ ^ . J

I r^

ce qui revient a

(.) § = v....

Si Ton combine par addition et soustraclion les valours de Vv^, et
Vv^ , , on a

Vv_,-hVv^, =: — / e^*-^*><^*'C0^[ve-+.(5 — i)sine]coset/e,
2^. Jo

Vv-, — Vv+i = — / et*-^*J«^»'sin[ve-h(5 — i)sine]sinee/c;
d'ailleurs, on voit facilement que

/^(*-4-i)co»ccQs|^ve 4- (s — i) sine] cose^/s

[ e<*-^'^«>»*COS[ve -4- (5 — l) sine] [v -H (5 — l) COSe ~ v] — —
^~'



— I — j et2-^»)«»»«sinrve4- (-5 — 1) sine] j*'

-I I 6f*-*"')~»*sin[ve-4- (5— i)sine]rf6

— - I e<*+*)«>««cos[ve4-(^ — i)sine]</5,



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ETUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 55

ce qui donne

ou

-. \r \T e«^-* sin 2 VIC

5 Vv+i -4- V V, — V^_i ==: ,

et, en changeant v en v + i , on a

/ov \T f ^\T XT e^-^'sinavTc

(3) 5V,^,-f-(l-hv)Vv+, — Vv=: y

21C

puis, remplacant Vy^., et Vv+2 P^^ -^ et -^j on arrive a Tequation
difierentielle

(4) ^-^^(. + v)^-V.= ^^ ,

qui, pour un paramelre entier n, revient ^

Pour developper en serie la fonction Yy, on peut, en partant de la
formule de Maclaurin, poser

Vv = Ao+ Ai - 4- A, hA,



I 1.2 1.2.3

les coefficients A^i A,, As, ... designant les valeurs de Yy, ^%
-W^> ... pour 2 = o. Or, on deduit de Tequation (4)» par des difie-
rentialions successives et en posant N = filHl^,



En faisant z = o et admettant que, pour cette valeur, les derivees



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S. 56 J. NICOLAS.

-j^y ~wzr ' • • • ne devieDDent pas infinies, on deduit des relations pre*

cedeDtes

(i-i-v)A,-Ao - -^N,

(3-r-v)A3-A,^N,



et de la il vient

An \



A,:



■ V I -h V



Ao N N

A*i^ 1 -\ »

(I-|-v)(2-+-v) (i-+-v)(2 -hv) a-hv

. Ao N N



(l-hv)(2 -hvj(3-hv) (I -Hv)(2-hvj(3-hv) (2-+-v)(3-hv) 3-,-v

Od obtient ainsi

.— A»^I-+- ^^,_^^j-t- ,^2(,^^)(2-hv)"^ i.2.3(l-hv)(2-hv)(3-hv)"^*"J



I(l-hv)|_ 2(2



(5) { *(i-+-^)L 2(2-i-v) 2.3(a ^-v)(3 -hv)



1.2(2 -hv)



['-3-(3T^-^-]



qoand le parametre est on nombre entier n, on a N = o, et Ton retombe
sur la serie connue.

29. Pour trouver directeraent ane forme d*integrale applicable a la
premiere equation (36ii), §1, noos posons

(6) \\ — j e -D^ii



(U fonction a deteminer), ce qoi doone



b t






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ETUDE DES FONCTIONS DE FOURIEH. ^ S. 5'J

Si nous observons d'autre part qu'on a

/'^(.-„).„=G-..):=/:*i.-o„„-.f'V.;u!ii;^„„,

nous pouvons ecriie

et nous voyons par la qu'on satisfait a Tequation (3), § I, en posant

\t' "UA,~o et — \' hi = o;

da a

de celte derniere on deduit par I'inlegration, et en supposant la con-
stanle nuUe,

et on delermine les limiles (a) et [h) en posant

Or, il est facile de voir que les valeurs de u qui annulent I'expres-
sion e "g~"a~^*-^''^ = -^ , sont zero et oo . Pour m — oo , la chose

est evidente. Pour w=io, on a e"— i, et il suffit de ehercher la limile
de/-; \ . Si Ton suppose v comprisentrezero et i, casauquel on

pent toujours ramener ceux oil v est > i, on remarquera que la valeur
dee"i/''*^'' est comprise entre e" w^ etc" a; et siTon developpe e", il vient



1 1.2 1.2.0^^ 1.2.0.4'^*



-3



e" U =: M H h



I I .111 1.2.3^^

Ann. de VPlc, Normate. 2® Seric. Tome XI. S.*'



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S. 58 J. NICOLAS.

expressions qui devicnnent infinies pour i^ = o; par suite, on a

L'inlegrale cherehee est done

(7) W-i f c'"e-'*u'('-^^)dii (•);

remarquons en passant que, dans ce cas, Texpression qui se trouve sous
le signe d'integration se confond avee celle qu'il faut annuler aux
limites pour satisfaire a Inequation ditTerenlielle.

En supposant la variable imaginaire, on peutintegrer le longd'une
courbe contournant le point zero et allant de 00 a x ; on a ainsi



(8) . V;- r"t' "e-»ii



On obtient, comme nous Tavons vu» une seconde forme d'integrale
en posant Y^^z-'^U^f la fonction U^ salisfaisant a la seconde equation
(3 bis), § I. Cela donne les deux autres integrales

r* -

(9) V; - - M es "e-" 11* -» iiu,

(10) \":^^:^ 'f t""e-««* ^fi(f.

De ces quatre formes, deux seulement sont distmctes, et nous allons
considerer en pariiculier les expressions (8) et (10).



(1) Dans un M^moire public dans les Annates de Milan, M. SchMi pose

et arrive a Tinl^grale

* Jo

qui ne difT^re de ( 7 ) que parce que u y est rcmplac^ par - •



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ftTUDE DES FONCTIOXS DE FOURIER. S. St)

30. Si dans Vv nous developpons e ", nous avons



;» = «



p =



En designant par A(v-h/j) cette derniere integrale, et appliquant la
methode d*integralion par partie, nous avons

dela on deduit successivement









A(.-^.n^-Al:i>,



et, par suite,

. (v 4-1.) (v-h 2)... (v -+-/>) r^v-h/V-l-l)

Pour A(v) on a
ou

A(v) =: {e *•''- I) / e-'W/-''^'^6/Mr- — 2«sinv7re-^''r(— 0;
mais, d'apres une forinule connue, on salt que

r(-v)r(i4-v)= A_;

il vient done

\ ( V ) = —



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S. 6o J. NICOLAS.

et, par suite,



On a ainsi

1 "li f" —Z.



( r I ) V r- '.57: £> - -=' V — -, / e " e-« M-e-^-*)

Zjl(/>-+-i)r(v ,-/;-Hi) J,

En traitant de la meme nnaniere Tintegralo (10), nous oblenons

r - * 3

(12) V: = 2Tif>^"::;-*V — -^^^ T—-"'/ c'~"e~»M-<*-'5flf«:

^ ^ Z^ r(/^-f-i)iH - v^/>^i) J,

de Ik nous deduisons

» = «

(1 3) > = . / e "e-^u-^^-^'^du,

Zj l^ty^-^ Oin^'-^-/>-^0 27r£j,

/' = *

(lA) \ = ; / e "e-"u-^^-'^du.



/>=0



Dans le cas oil le paramelre est un nombre entier n, tous les lermes,
a partir de celui qui conlienl 2", deviennent infinis dans (12) ou.(i4). II
faut alors separer rinlegrale (lo) en deux, et poser, en la designant
par V,„



p = n — i



y„ — z-" > -!^ V / e-"u-^'^P-"^da

Zj i.2.3.../>X

_^^-« \ J / e"ti-^^^f'-''^dii.

La premiere partie est nulle, car les integrales / e^va^"^^ du^ prises
le long d'un contour ferme dans lequel la function e-^^u!*"'^^ est finie,

( * ) Cette formule, qui revient a — -. / ^r-^a'^i^ *■»-/'' du = • - , s*accordo avoc

^ ' ^ JtTtiJ r(v -h/j -+- 1)

celle qui a 6I& donn6e par Weierstrass quand v est entier.



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6TUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 6l

continue el monodrome, sont toutes nulles lant que/) est ^n - i, et
Ton a, en lemplaQant p par n ^-p.



du.



Si I'on pose comme precedeminent

il vient

Pour evaluer A(o), remarquons qu'on a

la seconde integrale / etant prise le long d'une courbe qui contourne
le point zero; et comme la fonction c^ur^ est finie, continue el mono-

drdme de i a oo , les inlegralesy elj sont egales etde signesju)n-
traires; de sorte qu'on a

/ e-"n'' ^du=: I e-''u-^du.

L'integrale / peut etre prise le long d'un cercle de rayon i, et ayant
pour centre I'origine. Posons w = e^', nous aurons

du tn id^ , e?*',

et pour //—I,

^ — o et o - air.



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S.6a


J. NICOLAS.




de cette faQon, puisque






e-'*—i 1

I 1 .9.




1

I I .r!



il vient



I r "it-^fiif — i I ff'^i I — 1 . . . j = 'JiTr/;



par suite on a

(l5) A(o)=:Q7:«,

et

p = ae

(i6) V„ = ^7:/(-f)«^ -



(p -hi) Vip -h n-h I)

/i =

valeur ideDtique kcelle qu'on d^duit de(ii) en rempla^ant v par n; ce
qui montre que, dans le cas oil le parametre est entier, les deux inle-
grales(ii) et (12) se coiifondent, et nous n*avons ainsi qu'uneseule in-
tegrate particuliere.

31. Pour trouver dans ce cas la seconde integrate, nous partons de
la deuxifeme equation (3 bis), § I, dont les integrales






soDt egales a celles de la premiere {Zbis) multipliees par z^. Si Ton
suppose V = n + c, n nombre entier et e quantite tres petite, Texpres-
sion



'dli



est encore une integrate de Tequation citee, quelque petite que soit
la quantite g; sa limite pour £ = o^est done la seconde integrale
cherchee.



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ETUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 63

DesigQons par U„ cetle limite, qui est la derivee (77;) » nous



aurons



f ~^'* / ^ "e 'Ui-(^-^"^ log udu— I e "e "//-('""Mogac



ou, en representant par I|, U, I3 les trois integrates definies qui y
entrent,

ly bis) U;,=::I,;;Mogv-I,5«-l3.

La valeur de la premiere est donnee par la formule (11), et nous
avons



Ii = 27c/e-«'=* \ -



(p-^i)r(n-hphi)



pz=0

Pour la seconde, nous avons, en developpant e~" ,

I,~ > ^ J. / e 'Ui-^^-^''^/*^\oeudu;

^ 1.2.3. ../>X

p =

et, si nous posons

nous voyons qu'on a

B{n^p)=. ^^;

or, la valeur precedenle de A(v -^p) donne
et, par suite,

u/ \_ 9.Tz^{—i)Pe-"''' 2it/( — l)/'e~"''»^•^/^-^-/?-f-l)



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S. 64 • J. NICOLAS.

nous avons done



Si dans la troisienic integrale on developpe egalemenl e"", on a

SI Ton pose

et qu'on inlegre par partie, il vient

B(n— />)=i( ^! ) H / N'"P\osu.e-''cia

Tant qu*on a ^^/i — i, la derniere integrale, comme.nous I'avons
deja observe, est nulle, et dans ce cas Ton a

}\{n—/n — — '- ;

' ft — /J

c'esl ce qui conduit a separer la valeur de I, en deux parties, que nous
designons par I, ct T,, et nous posons

La premiere partie T, est facile a ealculer. De la valeur precedente

de B(/i — /?) on deduit

B(/t ~/j -h i) 1= (/I — y:?) B(/i — /?),



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ETUDE DES FONCTIONS DE FOURIER.

puis, en cbangeant/? en /? -h i, /> 4- 2, . ..,

B{n—p) ^(n—p — i)B{n—p — i),
B(n~p — i)^{n—p-2)B{n—p — 2),



S.65



B(2) -^iB(i),

B{n~p) ^i.2.3...(/i -/> -i)B(i);



d'oil
d*ailleurs on a



par suite
et



B{n—p) — 2 TT £ r ( /i -p),



(^i)/^^/>r(/i-^y9)



Quant a l,, remarquons que, si Ton remplace/> par/?-i-/i, il vient

/> =

et que cette valeur est analogue a celle de I^; de la on conclut

P = «D P = »

• • ^ ^ Zj l(/>-^i)l(/i-i-/?-hl) Zj1(



p =



p =



'(/> -t-I)l (/i -hp -i-I)



On a done finalement, puisque e^"'^'= [ — i)",



u„^27ii(-ir U"iog5^



-/^



r(^ -t- 1) r(/*-t- />:-!)



# • ~ ~
(18) / — -^^y^; ^ [^{n \-p \-i)-\~^'{p-k-\)]

p=0



27:i



p =



p =



^/i//. de I'Jtc, Norm, 2* Seric. Tome XI.



S.9



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S.66 J. XICOLAS.

Ed supprimant le dernier lerme qui est la premiere integrale particu-
Here, et divisaDt par z"^ on a la seconde integrate de la premiere equa-
tion difTerentielle 'ibis\ § I, que nous designons par Y^,, savoir



-P)

» f. =



I -, \^ i — I f zf* \( ft



resultats qui s*actordent avec ceux que nous avons obtenus au § II
el avec ceux qui sonl donnes par M. H. Hankel [ ' ;.

32. Du CHS oil le parametre est un nombre entier /i, on peut de-
duire aisement celui oh n = o. Mais il est aussi facile d*etablir directe-
ment les developpements qui conviennent a ce cas. D*apres ce qui
precede, la fonction

/ <r"e '/r ^f/a - z* I e "e " fi '*' du
L\3r ill

est une integrale de la deuxieme equation (3 bis)^ § I, quelque petite
que soit la valour de v. Pour v = o, cette expression se reduit a -;
et, pour avoir la valeur vers laquelle elle tend a cette limite, nous pre-
nons, comrae precedemmeut, la derivee des deux termes par rapport
a V, el nous faisons ensuite v = o, ce qui donne

(20j \q=z2 I e "e "w* logtt^a — logj / e "e'^u-^du,

OU

. # X- r -I .1 "*^''

('lobis) i«=^ / ^ e-"log •

Remarque. — On peut demontrer a posieriori que cette expression
est une integrale de Tequation (6), § I; car, si Ton y remplace Y^ par la

{•) Closch el NErjiA.x:f, Mathemaiische Jnnalea, 1. 1, p. 471.



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ETUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 67

valeur

'* ' • dii



on trouve



\o=: / e "e-'»log— —

Cette demiere expression, qui revient a ^^^^~,^^^ > est nuUe pour

o et 00 ; c'est ce qui a ete demontre precedemment pour — ^—z et par

loe^
suite pour — ^^ •

u e" e "

D'ailleurs, comme pour m = o et r/ = oo , on a — ^ = o, il suffit dc
considerer ce que devient -— ^^. Soit u — e^, on aura

SSlOg// Tf 20



i-f- - -h -^ i-.. .

I I .2



or, pour 1/ = o, 9 — — 00 , et pour u = co , © =: x ; dans ces deux
cas Texpression ^ est nulle. On pcul done prendre pour seconde inte-
grale de I'equalion limite

Yo=: / log— r "e-"

Jo ^ '^

Pour developper en serie, considerons la deuxieme integrale qui
enlre dans (20), savoir

et qui, si Ton developpe e ", revient a



'du.






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S.68 J. NICOLAS.

Comme, d'apres ce qui precede, on a

J. I.2.3.../i

il vient



La premiere inlegrale



zP






ou, d'aprfes ce qu'on a vu, a






Od a done






/» = • /» = •

Yo = — 4-' y rr— ^ n -^^-' V ,„ ^^ — p, [^.T(/>-^n -log-;].



p _ /» ^::^4



Si I'on supprime le premier terme, qui est a lui seul une inlegrale par-
ticuliere, el qu'on change les signes. il vient



formule qu*on deduit immediatement de (19) en faisant /i = o.



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15TUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 69

VI.

CAS OU LE PARAMfeTRE v EST DE LA FORME v = /i -h ' •

2



33. M. Lommel a examine en particulierlecasouv = n -h -yn etant
un nombre entier ( ' ), Dans ce cas, on a

I H- 2V r— 2/2 -h 2, I— 2VZZI — 2/?,

el les equations differenlielles qui peuventremplacer Tequalion (i bis,
§ 1) sonl les suivantes :

II resulte de ce qui a ete demontre que, si Ton a une integrate de Te^
qualion(i),en la multipliant para?*"^*, on aura une inl^grale de {\bis)\
il suftit done d'integrer I'une des deux equations precedentes.

Ce sont les equations (i) et (i bis) que considere M. Serret dans un
Menioire insere au Journal de Liou{^ille (^) et qu'il integre k I'aide de
la methode des difTerentielles a indices quelconques. Pour etablir les
formules auxquelles arrive cet auteur, nous suivons une marche loule
differentet et qui parait assez simple. Prenons les equations (i) et
(i bis) sous la forme

, . d^y 2 (/J -\- v) dy ,

(2) T^ -+- -^ -: m\y =0,

^ d.r* 2 diP

i'ibis) -tHt 7-^ — ''' r.mo.

^ fl.r^ r (i.r



(') Stitdirn iiher die Bcsselschen Functhnen, p. 5i.
(*) Journal de Lioitville, t. 9, p. 193.



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S, 70 J. NICOLAS.

Si, dans la premi^ret nous posons, comme M. Serret,

et en nieme temps |x* — m^ = o, en prenant d'abord jx = -h m, il vient

(3) :r ^-j -\- [2mx + 2(n4-i)] -7 h2m(/i-f-i)R=:o.

Cetle equation est de la meme forme que la suivante :

(4) ^ ^— I H- ( ^ '^'•2? — A ) -^ 2 mA// r= O,

qui admet comme integrale particuliere



// =: .r*-^* //',



Si dans (4) on fait
il vient

et si Ton differentie h fois cette derniere, on obtient

equation qu*on rend identique a (3) en prenant

ce qui donne

(7) "^^TTP"^^ ^.r^* ^ (K const.),

et Ton a ainsi pour premiere integrale de (a)



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