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du.



Si I'on pose comme precedeminent

il vient

Pour evaluer A(o), remarquons qu'on a

la seconde integrale / etant prise le long d'une courbe qui contourne
le point zero; et comme la fonction c^ur^ est finie, continue el mono-

drdme de i a oo , les inlegralesy elj sont egales etde signesju)n-
traires; de sorte qu'on a

/ e-"n'' ^du=: I e-''u-^du.

L'integrale / peut etre prise le long d'un cercle de rayon i, et ayant
pour centre I'origine. Posons w = e^', nous aurons

du tn id^ , e?*',

et pour //—I,

^ — o et o - air.



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S.6a


J. NICOLAS.




de cette faQon, puisque






e-'*—i 1

I 1 .9.




1

I I .r!



il vient



I r "it-^fiif — i I ff'^i I — 1 . . . j = 'JiTr/;



par suite on a

(l5) A(o)=:Q7:«,

et

p = ae

(i6) V„ = ^7:/(-f)«^ -



(p -hi) Vip -h n-h I)

/i =

valeur ideDtique kcelle qu'on d^duit de(ii) en rempla^ant v par n; ce
qui montre que, dans le cas oil le parametre est entier, les deux inle-
grales(ii) et (12) se coiifondent, et nous n*avons ainsi qu'uneseule in-
tegrate particuliere.

31. Pour trouver dans ce cas la seconde integrate, nous partons de
la deuxifeme equation (3 bis), § I, dont les integrales






soDt egales a celles de la premiere {Zbis) multipliees par z^. Si Ton
suppose V = n + c, n nombre entier et e quantite tres petite, Texpres-
sion



'dli



est encore une integrate de Tequation citee, quelque petite que soit
la quantite g; sa limite pour £ = o^est done la seconde integrale
cherchee.



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ETUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 63

DesigQons par U„ cetle limite, qui est la derivee (77;) » nous



aurons



f ~^'* / ^ "e 'Ui-(^-^"^ log udu— I e "e "//-('""Mogac



ou, en representant par I|, U, I3 les trois integrates definies qui y
entrent,

ly bis) U;,=::I,;;Mogv-I,5«-l3.

La valeur de la premiere est donnee par la formule (11), et nous
avons



Ii = 27c/e-«'=* \ -



(p-^i)r(n-hphi)



pz=0

Pour la seconde, nous avons, en developpant e~" ,

I,~ > ^ J. / e 'Ui-^^-^''^/*^\oeudu;

^ 1.2.3. ../>X

p =

et, si nous posons

nous voyons qu'on a

B{n^p)=. ^^;

or, la valeur precedenle de A(v -^p) donne
et, par suite,

u/ \_ 9.Tz^{—i)Pe-"''' 2it/( — l)/'e~"''»^•^/^-^-/?-f-l)



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S. 64 • J. NICOLAS.

nous avons done



Si dans la troisienic integrale on developpe egalemenl e"", on a

SI Ton pose

et qu'on inlegre par partie, il vient

B(n— />)=i( ^! ) H / N'"P\osu.e-''cia

Tant qu*on a ^^/i — i, la derniere integrale, comme.nous I'avons
deja observe, est nulle, et dans ce cas Ton a

}\{n—/n — — '- ;

' ft — /J

c'esl ce qui conduit a separer la valeur de I, en deux parties, que nous
designons par I, ct T,, et nous posons

La premiere partie T, est facile a ealculer. De la valeur precedente

de B(/i — /?) on deduit

B(/t ~/j -h i) 1= (/I — y:?) B(/i — /?),



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ETUDE DES FONCTIONS DE FOURIER.

puis, en cbangeant/? en /? -h i, /> 4- 2, . ..,

B{n—p) ^(n—p — i)B{n—p — i),
B(n~p — i)^{n—p-2)B{n—p — 2),



S.65



B(2) -^iB(i),

B{n~p) ^i.2.3...(/i -/> -i)B(i);



d'oil
d*ailleurs on a



par suite
et



B{n—p) — 2 TT £ r ( /i -p),



(^i)/^^/>r(/i-^y9)



Quant a l,, remarquons que, si Ton remplace/> par/?-i-/i, il vient

/> =

et que cette valeur est analogue a celle de I^; de la on conclut

P = «D P = »

• • ^ ^ Zj l(/>-^i)l(/i-i-/?-hl) Zj1(



p =



p =



'(/> -t-I)l (/i -hp -i-I)



On a done finalement, puisque e^"'^'= [ — i)",



u„^27ii(-ir U"iog5^



-/^



r(^ -t- 1) r(/*-t- />:-!)



# • ~ ~
(18) / — -^^y^; ^ [^{n \-p \-i)-\~^'{p-k-\)]

p=0



27:i



p =



p =



^/i//. de I'Jtc, Norm, 2* Seric. Tome XI.



S.9



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S.66 J. XICOLAS.

Ed supprimant le dernier lerme qui est la premiere integrale particu-
Here, et divisaDt par z"^ on a la seconde integrate de la premiere equa-
tion difTerentielle 'ibis\ § I, que nous designons par Y^,, savoir



-P)

» f. =



I -, \^ i — I f zf* \( ft



resultats qui s*actordent avec ceux que nous avons obtenus au § II
el avec ceux qui sonl donnes par M. H. Hankel [ ' ;.

32. Du CHS oil le parametre est un nombre entier /i, on peut de-
duire aisement celui oh n = o. Mais il est aussi facile d*etablir directe-
ment les developpements qui conviennent a ce cas. D*apres ce qui
precede, la fonction

/ <r"e '/r ^f/a - z* I e "e " fi '*' du
L\3r ill

est une integrale de la deuxieme equation (3 bis)^ § I, quelque petite
que soit la valour de v. Pour v = o, cette expression se reduit a -;
et, pour avoir la valeur vers laquelle elle tend a cette limite, nous pre-
nons, comrae precedemmeut, la derivee des deux termes par rapport
a V, el nous faisons ensuite v = o, ce qui donne

(20j \q=z2 I e "e "w* logtt^a — logj / e "e'^u-^du,

OU

. # X- r -I .1 "*^''

('lobis) i«=^ / ^ e-"log •

Remarque. — On peut demontrer a posieriori que cette expression
est une integrale de Tequation (6), § I; car, si Ton y remplace Y^ par la

{•) Closch el NErjiA.x:f, Mathemaiische Jnnalea, 1. 1, p. 471.



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ETUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 67

valeur

'* ' • dii



on trouve



\o=: / e "e-'»log— —

Cette demiere expression, qui revient a ^^^^~,^^^ > est nuUe pour

o et 00 ; c'est ce qui a ete demontre precedemment pour — ^—z et par

loe^
suite pour — ^^ •

u e" e "

D'ailleurs, comme pour m = o et r/ = oo , on a — ^ = o, il suffit dc
considerer ce que devient -— ^^. Soit u — e^, on aura

SSlOg// Tf 20



i-f- - -h -^ i-.. .

I I .2



or, pour 1/ = o, 9 — — 00 , et pour u = co , © =: x ; dans ces deux
cas Texpression ^ est nulle. On pcul done prendre pour seconde inte-
grale de I'equalion limite

Yo=: / log— r "e-"

Jo ^ '^

Pour developper en serie, considerons la deuxieme integrale qui
enlre dans (20), savoir

et qui, si Ton developpe e ", revient a



'du.






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S.68 J. NICOLAS.

Comme, d'apres ce qui precede, on a

J. I.2.3.../i

il vient



La premiere inlegrale



zP






ou, d'aprfes ce qu'on a vu, a






Od a done






/» = • /» = •

Yo = — 4-' y rr— ^ n -^^-' V ,„ ^^ — p, [^.T(/>-^n -log-;].



p _ /» ^::^4



Si I'on supprime le premier terme, qui est a lui seul une inlegrale par-
ticuliere, el qu'on change les signes. il vient



formule qu*on deduit immediatement de (19) en faisant /i = o.



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15TUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 69

VI.

CAS OU LE PARAMfeTRE v EST DE LA FORME v = /i -h ' •

2



33. M. Lommel a examine en particulierlecasouv = n -h -yn etant
un nombre entier ( ' ), Dans ce cas, on a

I H- 2V r— 2/2 -h 2, I— 2VZZI — 2/?,

el les equations differenlielles qui peuventremplacer Tequalion (i bis,
§ 1) sonl les suivantes :

II resulte de ce qui a ete demontre que, si Ton a une integrate de Te^
qualion(i),en la multipliant para?*"^*, on aura une inl^grale de {\bis)\
il suftit done d'integrer I'une des deux equations precedentes.

Ce sont les equations (i) et (i bis) que considere M. Serret dans un
Menioire insere au Journal de Liou{^ille (^) et qu'il integre k I'aide de
la methode des difTerentielles a indices quelconques. Pour etablir les
formules auxquelles arrive cet auteur, nous suivons une marche loule
differentet et qui parait assez simple. Prenons les equations (i) et
(i bis) sous la forme

, . d^y 2 (/J -\- v) dy ,

(2) T^ -+- -^ -: m\y =0,

^ d.r* 2 diP

i'ibis) -tHt 7-^ — ''' r.mo.

^ fl.r^ r (i.r



(') Stitdirn iiher die Bcsselschen Functhnen, p. 5i.
(*) Journal de Lioitville, t. 9, p. 193.



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S, 70 J. NICOLAS.

Si, dans la premi^ret nous posons, comme M. Serret,

et en nieme temps |x* — m^ = o, en prenant d'abord jx = -h m, il vient

(3) :r ^-j -\- [2mx + 2(n4-i)] -7 h2m(/i-f-i)R=:o.

Cetle equation est de la meme forme que la suivante :

(4) ^ ^— I H- ( ^ '^'•2? — A ) -^ 2 mA// r= O,

qui admet comme integrale particuliere



// =: .r*-^* //',



Si dans (4) on fait
il vient

et si Ton differentie h fois cette derniere, on obtient

equation qu*on rend identique a (3) en prenant

ce qui donne

(7) "^^TTP"^^ ^.r^* ^ (K const.),

et Ton a ainsi pour premiere integrale de (a)

(8) r' = Ae'"-^ ^ , ' ^ (A const.).



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ETUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 7I

Si Toa fait en second lieu jui = — m, il vient
rintegrale generate est done

(9) y^ke'n^ ^, 4- Be— -^^

De la, en s'appuyant sur la formule connue
on deduit

e-'^-^u^iu + 2m)"du ~f- Be'"*^ / e-''^ u'' {u - 2r?i)''du

34. On pent, d'ailleurs, appliquer a Tequation (3) la melhude que
nous avons deja employee precedemment. En posant



r^ e-''^lJ du



)



naus avons



t/*R .. , vT dR , . \ n

X~ -f-[2/WX-h2(Al-hl)] ^-f- 2m(Al-hl)R

\ u M — 2/n/

Comme, d'un autre cote, on a identiquement

il vient

X -j-j +[(2ma?-+-2(/i-+-i)] ^ -+-2m(/i + i)R



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S. 72 J. NICOLAS.

et, pour saiisfaire a Tequation (3), on voit qu'il sufBt dc poser

du u u — im * ^ '^ '

de la on deduit

et les limiles qui annulent Texprcssion e'^u!^'^\u — a/n)"""' sont o,
2/n et 00 . On a done les trois inlegrales particulieres



Rj - I e-"'''u''{u — 'Am)"du,



(.0.)



Si Ton change m en — /w, on Irouve de meme

I R'l = / c "^' u" ( M -f- 2 m /* duy
i Jo

R;~ j e "-^u'^iu -^.~2mydu,

J - l/H

R3 — / c "^ a'' ( // 4- 2 m )" du,

J-ltn

resultats qui s' accordant avec ceux qu'a oblenus M. Serret.

Remarque. — 11 est bon d'observer que les formes d'integrales prece-
denles peuvent se deduire aisement de la melhode suivie par Euler,
Jacobi, Kummer, etc. On sait que Tequation differentielle

(i3) ^(i-^)S^-[t-(« + P-+-0^]^-«?Y-:.o

admetcomme integrate particuliere la serie a quatre elements

^ ^ * 1.7 i.2.Y(Y-t-i)



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feTUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 73

et que cette serie peut eire representee par Tinlegrale definie



/ii^-i ( I — M )T-P-» ( I — jTM )— da



(i4) { / «?-»(! -w)Tr-?-»e///

I Jo

\ ■ ' (p) ' ( ; — 1^) c'o

Si I'oa observe, comme le fait Hansen (^), que la fonction de Fourier
est la linoile de F (a, ^, 7, — -r-ujy lorsque les deux parametres a el /3

deviennent infinis, il suffit de chercher ce que devient, dans cette In po-
these, la Hmile de I'integrale precedente. Or on trouve aisement les
linoites de Tequation differenlielle et de la serie ; mais, pour arriver a la
limile de Tintegrale definie, il faut d'abord passer par le cas oil un seul
des elements a devient infini.Dans cecas, I'equation diflerentielle (i3)
etrinlegrale (j4) deviennent

(,5) ,g,.<1— )g-PV^„.

Or si, dans Tequaiion (3), on change a? en — a:, et si Ton fail 2m = i ,
elle devient

(3 6«) j^__-|-[2(;e -Hi)-J-]^ — (/J 4-i)R — o,

equation de meme forme que (i5); par consequent, pour avoir une
integrale de (3), il suftira de changer x en -.r dans (16), el de faire
y = 2{n -f- 1), |3 = n -h I ; ce qui donne

(,7) ^^- ^r'iVo'y /'^^^^''" //)v— ./.,,

et c*est le resultat qu'on oblient en faisant 2m = i dans R3 (i i).



(*) Journal de Crelle, t. 15.'—- Kummer, Snr la serie hypergeometrique,
(') Abhandlung der SHchsischen Gesellschafty etc., t. U, p. 255i; i855.

Ann, de VF.c. Norm, a« Serie. Tome XI. S. lO



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S. 74 J« NICOLAS.

De la on deduit

/ox D i r[?.(/i -4-01 r^ „/ v« i'<-*") ,

(i8) yz=zKe^^ yy^^^^.^Y f ''"(i-'0"«' da

pour une des integrates parliculieres de I'^quation (2) oil Ton suppose
m=^, et qui, par consequent, ne contient qu'un parametre.
En posant i — aw = v, on arrive a

(.8 bis) Re5=. v^. Jl^l;\'^!^l^. £\i-v^)''erdn

on deduit de la une formule qui se trouve demontree d'une noani^re
bien differente dans le Memoire de Kummer : en egalant en effet les
deux valeurs de R, deduitcs de (17) el (18 bis), et changeant a- en — ^
et w en w — f , on obtient

et, si Ton developpe ces deux integrales en serie, il vient

fi n{n-h i) ,



I . ?. /? I .o..'i.nio.n -\- i)



— e* I I H : 1 : ^ — h . . . I ,

ce qui n'est autre que la formule (8), § 26 dn Memoire cite.

•35. Pour avoir la seconde forme d'inlegrale donnee par M. Serret,
nous partons de I'equation (2 i/>). En faisanty, = R,e^, |jl*— /7i' = o,
et prenant d'abord [L = m, nous avons, pour determiner R,,

(19) .r-— -h(2/nj-— 2/?) -^ — :im/iR|=ro,

equation qui, par (n-h i) differentiations, donne

D'autre part, si dans I'equation (5) on fait ^ = — w — i et w'= m'^, il



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ETUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 71

vient

1 d^ii\ , , (lit\

(20) I ^J7* ^ ^ dx * *



^ ^ ,/,./! y." />- *'"J^ •



u, =1 ux"^=z X" e~



de la comparaison des equatioas (19 bU) et (20) Ton conclut

^^5'="'. (Cconst.)
et, par suite,

(31) ^ ^^^ ' ^x^e-^'n..

de Ik on deduit, en employant la nolatiou de M. Liouville,






En changeant /n en — /n, on a la seconde iiitegrale parliculiere, et
par consequent Tintegrale generale de (a bis) est



,/i+i



Remarque. — Comme, entre deux integrales particulicrescorrespon-
dantes des equations (2) et (2 bis)^ on a



jj = j^'«+h,



la relation (21) donne



el si Ton remplace ici je""'^ par sa valeur deduite de (8), on obtient
ce qui revient a

dx"

autre formule indiquee par M. Serret, et oil il est facile de verifier que



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S. 7^ J* NICOLAS

pour la constante on a

Pour passer des integrales multiples (22) a des integrates s'nnples, il
suffit d'appliquer la fornoule de M. Liouville, et celle qu*en a deduite
M. Serret. Mais Ton peut aussi deduire immediatement ces nouvelles
integrales des preeedentes (10) en faisant ux = 2mu'\ on obtient ainsi

y - - A6f- '""^ ( "^^- ) / e-«"««' u'^'^x-^ a')« du'

4- B ( - I )« e'«' (—-) I e-^'«-' w'« (X'-u')^ du'-,

si Ton observe que/, = x^'^-^-^y, y, eiy elarit deux integrales corres-
pondantes, on a, en designant par A et B deux nouvelles constantes, et
suppriinant Taccent de u\

(a3) jj- Ae-'^'' I e^^"*''u''(x -h a)'' du-hBe'**' j e-»'««a''(x — tt)«flfi/,

formule idenlique a celle qui. est donnee par M. Serret.

II est bon de remarquer, en passant, que la premiere forme d'inte-
grale (10), si Ton y fait /n = i , revient a



OU



(a4) /::z.Ae-* f e-'*''u''(i-^"Ydu-\-Be' f e-«-^M« (i — " j cfa

(A et B nouvelles const.),

et que les deux formes d'integrales particulieres qui entrent dans cette
expression sont analogues k celles qui sont donnees par M. Hermann
Hankel dans son Memoire sur les fonctions cylindriques {Mathematische
Annalen^ vol. I, p. 490-

La seconde forme (qS) revient k celle qui est donnee par M. Lommel
dans ses Eludes sur les fonctions de Bessel (p. 63); car, si Ton fait



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ETUDE DES, FONCTIONS DE FOURIER.

#71= ly et qu'on remplace 2u par u^ il vient



S.77



(^5) 7=.-^,^/ .-,,«(^,4 - j rf/.4 - ^;^jf e-'^un^i^-j da.

36. Si Ton developpe R, en serie, on tpouve, en supposant 2m = i,
les trois expressions suivantes :

RjzziAiJ:^*"-*-* I u'-\ a- — . . . ,

D A r '* n(n — \)

Rjzz: A, I r H t ^.

L 1.2/1 1.2.2/1(2/* — I )



n{ n — 1 1 ( // — 2 )



(a6) /



•J'



I . 2 . 3 . 2 /* ( 2 /< -^ J ) ( 2 /* — 2 )

L I ./ 1.2 U-*

( // — 2 ) ( /* — I ) // ( /< -h I M /' -f- •>. H /* 4- •> > I



1



-r ( — I )''



I .2 ..>
1 . 2 . 3 ...//( /I f I ) ( // 4- o . . . 2 //



1 . 2 . .'5 . . . /i



^M-



Ce qui est remarquable, c*est que, lorsque n est un nombre entier,
comme nous le supposons ici, les valeurs de R^ et R3 sont limit^es et
ne difTereur que par un facteur constant. Gar si Ton ordonne Rg sui-
vant les puissances croissantes de x, on peut ecrire

^ 1 .2.3. . .n

[n n{n — i) , , ,^^ i.2.3.../i 1

I x-i ^ — r j;* — ...-h(— I)'* ij ; ; JC'ly

d*ou Ton voit qu'on aura Ra = R3, si les conslantes Aj et A3 satisfont
a la relation

A,=z A,(— i)" (/i -+- 1) {n -h 2). . .2/1,

remarque que je crois nouvelle. Dans ce cas, les deux solutions parlicu-
lieres de Tequation (19) sont representees. Tune par la serie infinie R,
developpee suivant les puissances croissantes de la variable, et Tautre
par Rj, polynome limite et du degre n.



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S. 78 J. NICOUS. ^

Si n n*est pas entier, la fonction R2 est, comme Ro une serie conver-
gente developpee suivant les puissances croissantes de Xy tandis que
R,, qui est developpee suivant les puissances decroissantes de cette va-
riable, est une serie du genre de celles qu'on nomme semi-conver-
gentes.



VII.

QUELQUES CONSEQUENCES RELATIVES A LA FONCTION EXPONENTIELLE.



37. En etudiant les formules oil entre la fonction exponentiellec"'*,
on arrive a quelques consequences qui meritent d'etre signalees. G'est
une indication que je dois a la bienveillance de M. Hermite, qui m'a
conduit aux resultats exposes dans ce' paragraphe et qui s'accordent
avec ceux que ce savant a demontres dans un Memoire publie dans les
Comptes rendus des seances de I' Academic des Sciences (annee iS^S),

(Qtmx \
pj:pi j, qui entre dans la forinule {^bis),

§ VI, et faisons 2m = i, nous aurons

(X JC^ x^ \

' ':...' '-^ h

en separant le second rhembre en deux parties, nous obtenons

( "^ ^' i.2.3.../i(/i-hi) L' '^ '^^^ "^ (/i4-2)(//H-3) "^* • 'J*

ce qui revient k

(.bis) D;(^.)=.Py + S(.),



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feTUDE DES FONCTIONS^ DE FOURIER. S. 79

V{x) d^signant un polyi)6me du degre n et S{x) une serie infinie de
la forme a H- a'x 4- a" a?* -h —

D'un autre cote, si Ton considere —;^^ comme le produit de deux fac-
leurs e' et as^'"*", on a



(3)^



ou



= e'[a-^(-n_2(„+,)-r (-«.+ 'i(iilllllii±lH^i±^.r-(-.)_...],



Q(a?) designant encore un polyndme du degre n.
Des relations (2 6w) et (3tw) on deduit





Q(^)_P(x)


et de la il vient




(4)


"^-QC^) ' Q(.r)'



expression renoarquable de la fonction exponentielle.

II est facile de conclure de ce qui precede les valeurs de P(a?), Q(x)
etS(a?). On a d'abord

= ^^^^^ {n -hi) (/J -hoO - ^'" -+■ — ^^ r



in — i)n(n -h i)., ,(o.n — o.)

: J"* -



.9.



. ..H-.2«l



et, par suite,

i.2n i,2.2n{2n — I) i.2.3. .2/1 J



/ P(.r) — (— i)'«(/i 4- i)(/i -h '?). . .2/1

(5) 1 r . '^ . ''(/i-o



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S. 80 J. mcoLAS.

puis tes relations (3) et (3 bis) doDnent •

Q/ V - ^, V - « '*^'* 0/ N, V « • / X« 1.2.3. ..2/1
(jr)=:^« (,l_|_,)j7«-l^ ^ £ (,1 4_ ,)(„_|_ 2)x«-»— ...(— I)» 5 ,
^ ^ I 1.2 1. 2.0. ../I

ou

IQ(x) ~ (— i)«(/i 4-l)(/l -+-2).. .2/1
r /I /i(/i — i) , . .^1.2. 3.. ./I 1

L 1. 2 /I \,i,9.n{;An — i) 1.2. 3. ..2/1 J

d*ou ceUe consequence remarquable queQ(x) se deduit de P(^) par
le changement de ^ en — ^; enfin pour S(a;) on a

s(^)=-.D2 — _! r,_^^:_4- — il — _-v...-h -^

^ ^ * 1. 2. J. ../*(/< 4-1 )L /i-l-2 (/i-h2;(/<-|-cl) (^/i -H 2;^/i -i-3). . .(2/i -h I)

^«-»-l 2»ll-»-l "I

_| 1 j . -J- ^, , I

(/i-h5i)(/2 -1-3 )...(-?/* -I-':*) (//-f-'-«j(/i-|-3)...(2/<-h3) J

ou

f . 0/ \ 1.2.3. ../I r (/e-+-i) , (/I -4-0 (/I -+-2) 1

(7) S(.r) =: ;; iH .1- H 77- j*'-t-... I,

^' I .2.3. . .(2/« -+- Ij L I (2/1 -H 2) 1.2(2/1 -t- 2) (2 /i -1-3) J

serie qui se confond avec R, (26), g VI, au facteur x^"-^^ pred, si on y
change a; en — x.

38. Au lieu de partir de la differentielle D^ ( ^^^^ u on peul arriver

aux niemes resultats en partant de Tintegrale definie R, (11), § VI, ou
de lasuivanle, queje designe par I,



^Im





et qui dcvient, quand on fail 2/w= r,

(8) ^ — f ^'"""ff^i^ — f'y^ff'

On pent appliquer a cette integrate, comme Ta fait M. Loinmel dans
ses Etudes sur les fonctions de Bessel (p. 5i), la forinule elementaire



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^-TUDE DES FONCTIONS DE FOURIER. S. 8l

Dans le cas actuel on a

et Ton voit qu'aux limites o et i, on a

F(«) = o, F'(u)=o, r{u)-=o, ..., F^-^/O^o;

d'autre part, les derivees d'ordre superieur a 2/1 sont identiquement
nulles; il vient done

Gomnie pour w = o, on a e~"^ = i , et pour a = i , er^'' = e"^, on pent
ecrire

(9) J e - F{u)du='^'- ^^,„J ^ ,

Q'(a?) et P'(^) designant comme precedemment des polynomes du
degr6 n.

On a d'ailleurs, en developpant e"^',



J/»* ^^ ( i)PxP /**
e-"^u"(i — u)''du'= \ -^ 5 / u^'-^Pii— uY^dii



et de (9) et (10) on deduit

Q^(.r)-P-(x)e-^ _
—liT^x - ^ \^h

d'oii

formule analogue a (4).

Cette seconde methode permet de calculer aussi assez facilement les
fonclions V\x) et Q^[x). Si Ton pose i —u — u\ on a

^ F(ii) = tt'»(i — </)"—«'•«/"',

Ann. de Vic, Normale, 2* S6rle. Tome XI. * S . 1 1



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S. 82 J. NICOLAS.

et le developpement du binome donne

F ( // -I- // ) — ( 1/ 4- A ) " ( I — w — // ) " - ( f / - f- /* ) " ( '/ ' — /' V'

[" f » I '* ( " — ')##»•
I !.'>.

I .^ I



X



^/ " liu'"-^ H ^ h'U "~^— li^u"*"* H . . .

i.'> 1 J

deli il vient, si Ton met en evidence les ternnes qui contiennent A",

#«r /« ^ '^ fn I n{u—\)n{n — \) , ,„ .
L 11 I . •< 1 . '<

-h (— I)" » - ^ ,/'^-l„'^_ (_ xY nil

II J

-\- h" "-' /^ " ^ 4 u n " * — . . .

I 1 1 I .'>.

I I . '>. I






«_....H(-0«^il^^— i^,/'' ^



//-"( - I)"



II est bon de remarquer que les premiers termes des polyndmes qui
multiplient A", h"^\ ... sont ceux du developpement du bindme
(a — i)"; les derniers se confondent avec ceux de (— i)" (11 -hi)", et
ce sont ces termes qu*il suftit de connaitre dans la question actuelle.

D'autre part, d'apres le theoreme de Taylor, on a

F(//-+-/l):=::F(//)-+ - F(ll)4- -^- F'^C m) -^ . . . -+- ^^ F'»( II) -|- . . . ,



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ETUDE DES FONCTIONS DE FOIIUEU. S.8^

et des deux developpemenls de ¥{u 4- h) on deduit

h^"{ii) nn , n(n — i)n(n~i) ,

ry = u"^ //'*-' // H ii'^^W

I .'2,6, . .n r I I .i I . •«

, n n ,



p/i-M ( ft ,



_iS,'« ^^i'^H^l^Zll.^n .,,^....^(„,).^,,. .,



1 . 2 . . . /^ ( /i -h I ) I I

I . 2 . . . ( « H- I ) ( /^ -f- Vi ) 1.2 * ' ' ^ 1.2



*■'"'"" :(-.)».



I . 2 . . . 2 /*



Pour u = Of on a i^'=: i ; et lolis les termes qui dans ces derivees
contiennent u en facteur s'annulent, ce qui donne



L1.2.3.../1 1„=„

Li.2.3...«(/i4-i)J,i=o"~ I '
Li.2...(/i-hi)(/i4-2)J„ = o~" 1.2



de la on conclut

ou, en ordonnant en sens inverse et niultipliaDt par a?^"^*,

Q'(x) = i.2.3...2/e( - i)'* 1 j:"-1 ^^ .t;2 — ...

^ L '-^'^ I.2.2/i(2/« — l)



^ 1 . 2 . 3 . . . 2 /i



Pour tt = I on a m'= o, el tons les termes qui contiennent u! en facteur



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S. 84, J. NICOLAS.

disparaissent» de sorte qu'il vient

f ^'-'^^^^ 1 =(-,)« iS

et par suite

^^t = '•^•^•••'K-0"[^;rn + -77^^ + ■ rx:^7r^^ ^"T

ou

ri// s *o / x..r '* '^C'* — 9 I.2...n „1

P'(a7)=:i.2.3...2/i(— l)'* IH X-{ ^^ -J7*H-...H ^^ .

L 1.2/1 I.2.2/i(2/i— I) I.2...2/i J

On relpouve ainsi, a un facteur pr^s, les valeurs (5) et (6). D'allleurs
S'(a?) est donnee par la formule(io), et elle ne diflere de S(a;) que
par un facteur constant et parce que x y est remplace par —x.

39. Proposons-nous de trouver la relation qui existe entre le rap-
p/^\ , . . ,

port rrrA et les reduites successives de la fraction continue qui repre-

sente e^. Dans son Memoiresur la serie hypergeometrique, Gauss donne
la formule



I



(.9)



avec les valeurs suivantes



a.c



bx



dx



a



b^\i\-A^



(a + i)-r 2(y + i— g)

(7-t-i)(Y + 2)' (-f + 2)(Y + 3)'

(«4-3)(y + i) - _ 3(y + 2 — a)

(7 + 3)(Y + 4)' •^""(T + 4)(Y + 5)'



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ETUDE DES FONCTIONS DE FOURIER.

Comme la fonction e^ est la limite de la serie



S.85



'(* i)



kx k{k-i-i)x^ k(k-i-i)ik-h2) x^



I k



1.2 A«



I .2.3



k^



pour ^ = CO , on peul lui appliquer la formule (12), en rempla(;ant

a par^, y par 1 et x par j- Si Ton porte ces valeurs dans les parties

integranles de la fraction continue, en faisant tendre k vers 00 , on
obtient





X

— >
I


(/:-+- i). I x

ex =: 5 -7 ==

2.3 k


X
2.3


(k-\- 2). 2 X

ex =1 7— r -. =

4.5 k


2X


(X: 4-3). So:

ffX — ' ^ : —


3x



6.7 k 6.7



bx ■=^
dx -:=.
/r =
hx =



1(1 —k)x



1.2 A^ ~


1 .2


2(2 — k) X
3.4 k~


2.r

3.4


3(3-A-)^
5.6 A^ ~


3x
5.9


4(4 -A) ^__


4.r



7.8 A- " . 7.8'



et de Ikon conclut



(i3)



X
2



6



J"
6



X

10



10



I —



I h



X



I — .



En designant par ^y W^ W' W' '" '^^ reduites consecutives, nous



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