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Acta mathematica online

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éléments M ti N dont nous avons besoin.

Nous avons admis que le système des plans P ne comprenait pas
de plans de symétrie. Cette restriction est nécessaire, car on voit sans
peine que, si le plan de symétrie Q fait partie des plans P, le produit
des distances à ces plans change de signe quand on substitue à un point
son symétrique par rapport à Q. Mais on éviterait ce changement de
signe en considérant le plan Q comme représentant deux plans P con-
fondus, et introduisant par suite le carré de la distance au plan Q.

Il est aisé de fixer une limite inférieure de la somme des degrés m
et n des éléments M et N, exprimés en coordonnées cartésiennes. En
effet, ces deux éléments, joints à Télément sphérique -L = a?' + y' + ^N



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Sur les surfaces possëdaot les mêmes plans de symétrie que Tun des polyèdres réguliers. 205

doivent former un système indépendant, autrement dit, on ne doit pas
Hvoir, identiquement:





dL

9y




dil

dx


9M

9y


3M

9z


3N
9z




dN
9z



On peut^ toujours s'assurer que ceci n'est pas une identité, et 1 equa-
tion précédente représente alors la surface, lieu des points pour lesquels
les trois surfaces L ^= Const., M = Const, ^ N ^= Const, ont des plans
tangents passant par une même droite. Le lieu est un cone de degré
m + » — I, ayant son sommet à l'origine, et comprenant tous les plans
de symétrie, puisqu'en un point quelconque de Tun de ces plans les plans
tangents aux trois surfaces passent évidemment par la normale au plan.

Il résulte de là que le nombre m + n — i est au moins égal à celui
des plans de symétrie. S'il lui est exactement égal, le cone dont il s'agit
se réduit aux plans de symétfie, et, en dehors de ces plans, les trois
systèmes de surfaces L = Const., M = Cofist., N = Const, sont aptes à
constituer un système de coordonnées.

Pour chaque type de symétrie, il y a deux éléments non sphériques,
M et Ny de degrés minima, nous les appellerons les élémetits simples.
On peut appeler éléments complexes les éléments symétriques qui ne sont
ni sphériques, ni simples.

3. Une surface est dite éUwCenlaire quand son équation dépend d'un
seul élément, simple ou complexe. Cette équation est donc de la forme
M = Const., . . . , et elle exprime que le produit des distances de chacun
des point« de la surface à K plans fixes concourants Pj, P^, P^^ . . . j Fj^
est constant. Une telle surface possède un certain nombre de propriétés,
indépendantes de la disposition symétrique des K plans, et que nous nous
bornerons à énoncer. Elle est asymptotique aux K plans. Pour con-
struire sa normale en un point, il suffit d'abaisser de ce point les per-
pendiculaires sur les plans asymptotiques, et de les limiter à leur point
de rencontre avec un plan mené par l'origine perpendiculairement au
rayon vecteur du point considéré. La résultante géométrique des K



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L. Lccomu.



droites ainsi obtenues donne la direction de la normale. Le produit des
distances interceptées, à partir d'un point de là surface, sur une droite
de direction arbitraire, mais fixe, par les plans asymptotiques, a une va-
leur constante. On en conclut que tout point M de la surface est un
point central pour le système de points déterminé paf les plans asymp-
totiques sur une tangente quelconque de la surface au point M. On en
conclut aussi que les directions asymptotiques sont imaginaires, et par
suite que les deux courbures d'une surface élémentaire sont toujours de
même sens. Ceci reste vrai lors même que les plans P ne sont pas con-
courants, par exemple lorsque ce sont les faces d'un polyèdre régulier.

La transformée d'une surface élémentaire par polaires réciproques,
relativement à une sphère ayant son centre à Torigine, peut être con-
sidérée comme l'enveloppe d'un >plan qui intercepte sur K droites fixes
concourantes (les normales aux plans asymptotiques) à partir de leur
point de rencontre, K longueurs dont le produit soit constant. Chaque
plan tangent à la surface réciproque la touche au centre de gravité du
système de points déterminé par ses intersections avec les K droites fixes.
Les directions principales sont les axes d'inertie principaux de ce Ynême sy-
stème. La somme des rayons de courbure principaux varie en raison in-
verse de la distance du plan tangent à Torigine, et en raison directe du mo-
ment d'inertie du système des points d'intersection, par rapport a la normale.

4. Les courbes résultant de l'intersection des surfaces élémentaires
symétriques avec les sphères centrales présentent une importance parti-
culière; nous leur donnerons le nom de sphérosymétriques. Les sphéro-
symétriques provenant des surfaces élémentaires d'une même famille, et
placées sur un même cone central, sont évidemment homothétiques; on
peut aussi les déduire les unes des autres au moyen d'une transformation
par rayons vecteurs réciproques. Dans la transformation par polaires
réciproques relativement à une sphère centrale les points d'une sphéro-
symétrique ont pour correspondants les plans tangents à une sphère le
long d'une sphérosymétrique homothétique à la première. Ces plans en-
veloppent une développable symétrique, circonscrite à la fois à une sphère
et à la réciproque de la surface élémentaire qui contient la sphérosymé-
trique. D'après ce qui a été dit à l'article précédent, la ligne de con-
tact de la développable avec la surface réciproque est une courbe le
long de laquelle la somme des rayons de courbure principaux de la



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Sur les surfaces possédant les mêmes plans de symétrie que Tun des polyèdres réguliers. 207

développable varie proportionnellement au moment d'inertie, par rapport
à la normale, du système de points formé par les intersections du plan
tangent avec les normales à Torigine aux plans asymptotiques. Les
lignes de courbure de la développa^e sont sphériques, et, comme elles
résultent de l'intersection de deux surfaces (la développable et la sphère)
douées de la même symétrie, elles partagent évidemment cette symétrie.
L'arête de rebroussement est, d'après un théorème bien connu, ligne
géodésique d'un cone central; cette arête, et le cone lui-môme, jouissent
aussi de la symétrie considérée.

Si n est le degré de la surface élémentaire, les sphérosymétriques
correspondantes sont du degré 2». D'après les formules connues* la
développable formée par les plans tangents à la sphère le long d'une
sphérosymétrique est caractérisée par les données suivantes:

Classe (nombre de plans tangents passant par un point donné) v = 2«

Banff (degré de la développable) r = 2w'

Nombre de plans stationnaires a = o

et la connaissance de ces données suffit pour déterminer tous les autres
éléments de la surface. Sans insister sur ces détails, voyons seulement
quelle est l'influence de la symétrie supposée. Les génératrices de la dé-
veloppable rencontrent à angle droit la sphérosymétrique le long de
laquelle elles touchent une même sphère. D'ailleurs, chaque plan de
symétrie coupe orthogonalement cette sphérosymétrique en 2n points,
situés sur une circonférence. Par chacun d'eux passe une génératrice
située dans le plan de symétrie, et tangente à la circonférence. On a
ainsi 2n droites d'intersection du plan de symétrie avec la développable.
La section, étant du degré 2n' comprend, en dehors de ces 2n droites,
une courbe d'ordre 2w(n — i). Le long de cette courbe, la développable
ne peut rencontrer normalement le plan de symétrie, sans quoi elle se
réduirait à un cylindre. Nous avons donc en réalité affaire à une ligne
double de la développable: son degré est seulement n(n — i). Elle possède
un point de rebroussement en chacun des points où elle rencontre l'arête
de rebroussement. Il est facile d'en calculer le nombre. En effet le
degré m de l'arête est égal à 3(r — u) ou à 6n(n — i). Chacune des
2n génératrices situées dans le plan de symétrie est tangente à l'arête

* Voir notamment le Traité de géométrie analytique de Salmon.



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L. LecorDu.



de rebroussement; par raison de symétrie, elle touche évidemment celle-ci
en un point de rebroussement. L'arête de rebroussement possède ainsi 2n
points de rebroussement dans chaque plan de symétrie. Chacun de ces
points correspond à trois points de rencontre de l'arête avec le plan de
symétrie. Il reste donc dans le même plan, 6n(n — i) — 6n = 6n(n — 2)
points de rencontre, qui sont situés sur la ligne double et se réduisent ainsi
à 3n(w — 2) points distincts; tel est le nombre des points de rebroussement
de la section, déterminée par le plan de symétrie. Par exemple, pour
n = 3, la section est une sextique ayant 9 points de rebroussement.

Considérons maintenant un plan sécant quelconque P. Il coupe la
surface développable qui nous occupe suivant une courbe d'ordre 2n^
Sa trace sur un plan de sjnnétrie rencontre la ligne double contenue
dans celui-ci en n{n — i) points qui sont des points doubles de la section
faite par ce plan P. Si p est le nombre des plans de symétrie, on
connaît ainsi pn{n — i) points doubles. Mais, d'après les formules gé-
nérales, le nombre des points doubles doit être égal à -r(r — 2) m

2 3

ou bien 2n\n^ — i) — 8w(n — i). Si donc p est inférieur à



2ïi'(ii' — l) — 8/1 (n— l)

n{n — I )

c'est à dire à 2(w' + ^* — 4)? ^^ surface développable possède des lignes
doubles en dehors des plans de symétrie; on s'assure facilement que tel
est toujours le cas. Outre les 2w(n' — 5^ + 4) points doubles qui vien-
nent d'être indiqués, la section possède 6w(n — 1) points de rebrousse-
ment situés sur l'arête de rebroussement.

On peut également étudier la surface développable formée par les
tangentes à une sphérosymétrique. Son degré r est le même que celui
de la réciproque de cette courbe, c'est à dire 2n^. L'arête de rebrousse-
ment est du degré w = 2W, et elle n'a généralement pas de points
doubles. Ici, les plans de symétrie ne contiennent pas de génératrices,
et rencontrent la surface suivant des courbes d'ordre n*. Le nombre des
points doubles d'une section quelconque est ^n\n'^ — 2). pn^ de ces
points sont, comme précédemment, dans les plans de symétrie, et, comme
p se trouve toujours inférieur à 4(n^ — 2), il y a nécessairement des
lignes doubles en dehors dos plans de symétrie.



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Sur les surfaces possédant les mêmes plans de symétrie que Tun des polyèdres réguliers. 2ôd

5. Nous entendons par surfaces binaires celles qui dépendent de
deux éléments seulement, y compris l'élément sphérique. Leur équation
est donc de la forme

(i) ^ F{L, M) = o

L étant l'élément sphérique x^ + V^ + ^^y et Jf, l'élément d'ordre m,
égal au produit des distances du point x^ y^ z aux plans P|, P^, ..., P„,,
Nous admettrons que ces plans sont distincts, et nous les appellerons ylans
directeurs. Toute surface élémentaire M = Const, coupe la surface bi-
naire considérée suivant une ou plusieurs courbes sphérîques, qui sont des
sphérosymétriques d'ordre 2)n. En écrivant que Téquation (i), considérée
comme équation en 3/, a une racine double, on obtient certaines valeurs
de X, déterminant les sphérosymétriques le long de chacune desquelles
la surface binaire est touchée par une surface élémentaire. En faisant
ilf = o, on obtient une équation en L déterminant les rayons de di-
verses sphères qui coupent chacune la surface suivant m cercles situés
dans les plans directeurs; nous les appellerons les sphères directrices.
Chacune délies est touchée par la surface aux m{)n — i) points où elle
est rencontrée par les arêtes d'intersection des plans directeurs pris deux
à deux. S'il y a jp sphères directrices, chaque plan directeur coupe la
surface suivant p cercles, et la surface possède ainsi jmi cercles.

L'équation homogène ^P — A T/" = o, où A est une constante, re-
présente un oone central d'ordre 2m. Ce cone rencontre la surface
suivant des sphérosymétriques situées sur les sphères déterminées par
l'équation

(2) . F{L. /Jv'l) = o.

àSi Ton choisit A de telle façon que cette équation en Z ait une racine
double A, le cone central touche la surface le long d'une sphérosy mé-
trique située sur la sphère L = Å. Cette sphère coupe orthogonalement
la surface binaire, qui admet par suite comme ligne de courbure la
sphérosym étriqué d'intersection.

Supposons en particulier que la surface soit algébrique, et que

Acta matketnatica. 10. luprlné'le 12 Juillet 1867. 27



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L. LecorDU.



rélément M entre au premier degré dans son équation, que nous écrirons
alors:



(3)






^ et ^ étant des polynômes de degrés /) et g^, sans racines communes.
Les p sphères directrices ont pour rayons les racines carrées des racines
de ^(Z) = o. Les q sphères ^(i) = o ne peuvent rencontrer la sur-
face qu'à rinfini, et n'ont avec celle-ci aucun point réel commun. Si
donc elles sont réelles, elles partagent l'espace en régions telles que la
surface ne peut passer réellement de Tune dans l'autre. L'équation (2)

prend ici la forme:

»Il

si'ÄL^(P{L) — if{L) = 0.
Pour une racine double L, on a:



m






^A X» 4<{L) + v^ L' 4'\L) — <f'{L) = o,



d'où, en éliminant A'.



(4)



■9^{L)4{L) + Lf{L)^{L) - L<p'{L)4>{L) = o.



équation qui est généralement du degré p + j en X. Par conséquent il
y ^ p + q sphères centrales orthogonales à la surface binaire représentée
par réquation (3).

Un cas très important est celui où ^{L) se réduit à une constante.
On a alors M = <f{L\ et la surface est le lieu des points dont le produit
des puissances par rapport à p sphères concentriques est proportionnel
au produit des distances à m plans concourant au centre de ces sphères.
Pour chaque type de symétrie, la surface générale du degré le plus bas
possible est représentée par une équation de cette nature. Car, si il/ est
l'élément non sphérique le plus simple relatif à la symétrie considérée,
en prenant pour jr(L) un polynôme de degré égal au plus grand entier

contenu dans — on obtient évidemment la surface de degré minimum.

Pour étudier ce cas, il suffit de supposer 3^ = 0, et alors on voit que le



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Sar les surfaces possédant les mêmes plans de symétrie que Tun des polyèdres réguliers. 211

nombre des sphères orthogonales est précisément égal au nombte des
sphères directrices. De plus, Téquation (4) se réduit à:

(5) mç>{L) — 2L^\L) = o.

Cette équation est en général du degré |>, et ses racines sont entière-
ment déterminées par celles de ^{L). On voit donc que:

Les surfaces 3f = C(p{L), où M est un élément symétrique d'ordre
w, une constante arbitraire et ^{L) un polynôme de degré p en i,
forment un faisceau contenant. mp cercles fixes, situés à Tintersection
des m plans directeurs avec les p sphères directrices; ce faisceau coupe
orthogonalement p sphères fixes, concentriques aux premières.

Il y a cependant une exception lorsque le degré de l'équation (5) se
trouve abaissé au dessous de p. Cette circonstance se produit si m= 2p^
c'est-à-dire si le nombre des plans directeurs est égal à deux fois celui
des sphères directrices. Alors les sphères orthogonales sont au nombre
de ^ — I seulement; la dernière est rejetée à l'infini.

Quand il y a deux sphères directrices confondues en une seule,
jr(/v) = o et <p\L) = o ont une racine commune, qui vérifie Téquation
(5). La sphère directrice est donc dans ce cas orthogonale à la surface,
et, comme elle doit généralement toucher la surface en m{m — i) points,
il en résulte que la surface possède, sur cette sphère, m{m — i) points où
le plan tangent est indéterminé: c est-à-dire m(m — i) points nodaux.

6. Toute surface symétrique dont l'équation peut se mettre sous
la forme:

• /•=ff(3f, N, X) + ^(i) = o,

(f^ désignant une fonction homogène des trois éléments symétriques, et
4p, une fonction de l'élément sphérique dont le degré par rapport aux
coordonnées soit inférieur à celui de ^ ), jouit également de la propriété
de rencontrer orthogonalement un certain nombre de sphères centrales.
En eflfet, pour exprimer qu'un plan tangent:

xn + Yf; + Zf; + Tf; ^o

représenté par une équation rendue homogène, passe par l'origine, il suffit



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L. Lecornu.



de poser la condition /"/ = o. Or cette condition, d'après Thypothèse
adîiiise, dépend uniquement de rélénient sphérique; elle détermine donc
les rayons d'une ou de plusieurs sphères orthogonales à la surface sy-
métrique. On voit en outre que, si la surface a des points nodaux, ses
points, devant vérifier la condition /*/ = o, appartiennent à l'une des sphères
orthogonales, et par conséquent à Tune des lignes de courbure sphériques.

7. Lorsqu'une surface binaire contient une droite réelle, celle-ci
coupe les m plans directeurs en m points réels, qui se trouvent néces-



sairement sur les sphères directrices. Il faut donc que — sphères direc-

tric^es au moins soient réelles. Remarquons de plus que le plan mené
par la droite et par l'origine coupe ces sphères suivant des cercles con-
centriques, et les plans directeurs suivant des rayons aboutissant aux points
de rencontre de la droite avec les cercles. Les traces des plans direc*
teurs sont donc symétriquement disposées de part et d'autre du rayon
perpendiculaire à la droite. Cela n'est en général possible que si ce
rayon est la trace d'un plan de symétrie perpendiculaire à la droite.
Donc les droites réelles de la surface sont perpendiculaires aux plans de
symétrie. Ce raisonnement n'est nullement applicable aux droites imagi-
naires, pour lesquelles les considérations de symétrie n apprennent plus
rien. On peut s'en convaincre en remarquant que, dans un plan, les
deux droites x^ + y'^ = o forment un système doué d'une infinité d'axes
de symétrie, ce qui serait absurde pour des droites réelles.

Réciproquement, si on considère une droite réelle perpendiculaire à
un plan de symétrie, et une surface binaire d'ordre K^ dont Téquation
F{Ly M) = o renferme un nombre n de coefficients arbitraires supérieur

K
à —, on peut déterminer ces coefficients de façon que la surface passe

par n points de la droite, placés d'un même côté du plan de symétrie.
La surface passera alors par 2n points de la droite, et contiendra par
suite cette dernière ainsi que toutes celles qui lui correspondent par sy-
métrie.

8. Dès qu'on est en possession d'une surface pourvue des plans de
symétrie d'un polyèdre régulier, on peut imaginer une infinité de trans-
formations qui n'altèrent pas sa symétrie. On peut, par exemple, enn-
ployer la transformation par rayons vecteurs réciproques ou par polaires



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Sur les surfaces possödaot les mêmes plans de symi^trie que Tun des polyèdres réguliers. 213

réciproques relativement à une sphère centrale. On peut aussi considérer
le lieu des points dont la somme ou la différence des distances à la
surface et à une sphère centrale est constant; on obtient ainsi une surface
nouvelle douée évidemment de la même symétrie que la première. En
faisant varier la somme ou la différence considérée, on réalise une double
famille de surfaces symétriques orthogonales. •

9. Les polyèdres réguliers convexes sont au nombre de cinq; mais,
si l'on tient compte seulement de leur genre de symétrie, ils se ramè-
nent à trois types:

1°. Symétrie tétraédrique (le tétraèdre),
2^. » cuboct^édrique (l'hexaèdre et Toctaèdre),

3®. » icosidodécaédrique * (le dodécaèdre et Ticosaédre).

Le premier type dérive du second par disparition d'un centre de
syiuétrie (hémiédrie). Les polyèdres réguliers non convexes appartien-
nent tous au troisième type.

Nous étudierons successivement les surfaces qui se rapportent aux
trois types, en supposant essentiellement que les coefficients de leurs équa-
tions sont réels.



Deuxième partie. Surfaces du type tétraédriqtie.

9. Le type tétraédrique est caractérisé par six plans de symétrie
perpendiculaires deux à deux; ce sont les plans menés par les six arêtes
du tétraèdre et par le centre de la sphère circonscrite. Leur existence
entraine celle de quatre axes ternaires (les quatre hauteurs) et de trois
axes binaires, rectangulaires deux à deux, joignant les milieux des arêtes
opposées. Il n'y a pas de centre de symétrie.

Prenons comme axes de coordonnées les trois axes binaires, et, pour
fixer les idées, supposons Taxe des z vertical. Les trois plans de coor-
données, que nous appellerons plans principaux^ jouissent alors de la sy-
métrie du système, et, comme ils sont distincts des plans de symétrie, le

' Ces dëDominatioDS sont empruotëes aux recherches de M. Jordan sur les po-
lyëdres (Journal de Crelle, t. 68, l868).



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L. Lecornu.



produit M = xyz des distances d'un point quelconque à ces trois plans
nous donné un élément symétrique. Le produit N des distances d'un point
aux quatre plans menés par l'origine perpendiculairement aux axes ter-
naires fournit le second élément dont nous avons besoin. Ces quatre
plans ont pour équations: x ± y ±, z == o. On peut donc, en négligeant
un facteur constant, poser:



N ^ —{x + !/ + z){x + y — z){x — // + z){— .r + y + ^)

= •^** + y* + -2^* — ^y^^^ — 2^^^;^ — 2x'y/*^

et l'équation générale des surfaces cherchées se trouve mise sous la forme:

^r{x' ^ y' J^ z' — 2y'z^ — 2^^c' — 2x'y\ xyz, x'' + y' + z^) = o.

En vertu de l'identité:

x^ + //* + z'^ — 2y'^z^ — 2z^x'^ — ^x/^y^

= (,,^ + y\ + zy - 4{y'z' + Z'^X' + XY),

la même équation peut s'écrire:

<p{y'z^^ + z'x' + x''y\ xyz, x' + y' + z') = o
ou

x{^' + y' + ^\ ^^y^. '^^ + y" + ^") = o.

Les degrés des éléments sont m = 3, n = 4, d'où m -{- n — i =6,
ce qui est précisément le nombre des plans de symétrie. Ce résultat
concorde avec ce qui a été dit au n° 2. D'ailleurs, il est évident que
les valeurs des trois quantités:

x^ + y'^ + ^^ = w

x'^y'^ + y^z'^ + ^^^^ = ^

xyz = w

peuvent servir à fixer la position d'un point dans l'espace avec Tindé-
terraination nécessitée par la symétrie tétraédrique; si Ton forme en effet
l'équation en S

S'^ _ uS' + vS — iv' = o.



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I i



Sar les surfaces possëdaDt les mêmes plans de symétrie que Tun des polyèdres réguliers. 215

les trois racines, rangées arbitrairement, donnent les valeurs de a?^ y^, z^j
soit en tout six solutions. Si Ton choisit en outre les signes de Xy y, z
de manière à vérifier Téquation xyz = Wy on parvient à un groupe de
24 points répondant à la symétrie tétraédrique.

10. La surface tétraédrique la plus simple est, après la sphère,
la surface cubique qui a pour équation générale:

j'!/z + A{x' + //' + z^) + B = o. • •

Par chaque point de cette surface passe une sphérosymétrique du
6*"* ordre, et une seule. D'ailleurs, les deux plans, réels ou imaginaires
menés parallèlement à xoy, à une distance z de l'origine déterminée par
la condition Az^ + 7? ==~o, coupent chacun la surface suivant deux droites
représentées par 1 equation



A{x'-h,f)-hTt,\/-^ =



Ces deux droites rencontrent l'axe des Zy et la connaissance d'une seule
d'entre elles suffit pour déterminer complètement la surface. On peut
donc dire que:

La surface cubique symétrique est engendrée par une sphérosymétrique
cl'U 6*"* ordre assujettie à s^appuyer constamment sur une droifCy réelle ou
imnginairey qui reficontre orthogonalement Vun des axes binaires.

Une sphérosymétrique du 6^""* ordre a pour équations:



On "tire de là:



^^ + y^ + ^' = Const,,
xyz = Const.

dx dy dz



^(y' — ^*) ' y{z' - x^) zix' — y^)



Cetf €?!• courbe rencontre orthogonalement une surface définie par l'équation
dift"(é«— «ntielle: ^

xdx{y' — z') + ydy{z' — x') + zdz(;x' — y') = o

dont X intégrale peut s écrire:

(v) ax' + ßy' + j-z' =



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216



L. IjecorDU.



oLj ß, Y étant trois constantes dont la somme est nulle. On déduit de



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