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là que:

Les sphérosymétriqties du 6^"*^ ordre sont, les trajectoires orthogonales
des cones du second ordre passant par les quatre axes ternaires; par consé-
quent^ celles qui sont tracées sur une même sphère sont les trajectoires miho-
gonales de coniques sphériques passant par qtcatre points fixes d'un même
hémisphère.^

On sait ^ que les coniques sphériques circonscrites ^ un quadrilatère
rectiligne imaginaire de la sphère sont des courbes telles que, pour chacune
d'elles, il y a un rapport constant entre les distances de ses points à deux
diamètres fixes D, A, et que cette famille de courbes a pour trajectoires
orthogonales les courbes, lieux des points ilf pour lesquels les grands
cercles MD, MA font un angle constant. Ces trajectoires orthogonales
sont des cycliques, transformées par rayons vecteurs réciproques d ellipses
de Cassini. Si, dans le cas des sphérosymétriques qui nous occupent, on
remplace y par — /^, l'on a ^ = a -f yj, et la relation (i) devient:

oi{x' + ^^) + ß(y' + z') - = o.

Elle exprime alors que le rapport des distances de la conique sphé-
rique aux deux axes ox, ot/ est constant, et Von rentre ainsi dans le
cas précédent. On parvient au même résultat en remplaçant z prir iz,
sans changer ;-; de là un rapprochement intéressant entre les sphérosymé-
triques et une classe de cycliques sphériques.

La surface cubique contenant en chacun de ses points une sphéro-
sy métrique, on voit que:

La surface cubique symétrique rencontre orthogonalement tous les cones
du second ordre circonscrits aux axes ternaires.

Cette propriété subsiste pour les surfaces binaires d'ordre supérieur
dont réquation dépend des deux premiers éléments, x*^ -^ y'^ + z^ et xyz.
Le troisième élément convient, comme on le verra, aux surfaces du type
cuboctaédrique aussi bien 'îju'à celles* du type tétraédrique. On peut
donc dire que son absence caractérise une surface appartenant purement
au type tétraédrique, et énoncer alors ce théorème:

' Voir Touvrage: Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques
(Mém. de la société des sciences de Bordeaux, 1870 — 1873) par M. Darboux.



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Sur lea surfaces possédant les usêmes plans de symétrie que Tun des polyèdres réguliers. 217

Toute surface appartenant purement au type tétraédrique est trajectoire
orthogonale des cones du second ordre circonscrits aux axes ternaires.

On achève de déterminer la surface en se donnant une courbe, par
exemple une section horizontale. La surface est cubique, comme on l'a vu
précédemment^ si elle contient une droite rencontrant à angle droit Tun
àes axes binaires.

11. Les équations différentielles d'une sphérosymétrique peuvent



s'écrire:



xdx 4- ydy + zde = o,

dx , dy , dz
— + -?^ + - = O.
X y z

La tangente en un point est donc perpendiculaire à la fois au rayon
vecteur issu de l'origine, et à la droite, lieu des points dont les coor-
données sont proportionnelles à -, -, -. Cette droite peut être appelée

l'inverse dé celle qui coïncide avec lé rayon vecteur. En outre, les sphé-
rosymétriques rencontrant la droite inverse ont également, à leurs points
de rencontre, des tangentes perpendiculaires au plan des deux droites.
Tout plan mené par l'origine contient, comme il est aisé de le voir,
deux droites inverses l'une de lautre et deux seulement. Chacune d'elles
rencontre une surface cubique symétrique en trois points, et, en chacun
de ces points, le plan tangent est normal au plan considéré. Par con-
séquent:

Tout plan mené par Vorigine est normal à une cubique Sfymétrique en
six points^ situés sur deux droites inverses.

12. La sphère, réelle ou imaginaire, dont le rayon a vérifie la
relation Aa^ + ^ = o> coupe la surface suivant trois grands cercles situés
dans les plans principaux. On peut distinguer deux genres de surfaces
cubiques symétriques, suivant que cette sphère est réelle ou imaginaire.
Comme cas intermédiaire il y a celui d'une sphère directrice évanouis-
sante; la surface possède alors un point isotrope à l'origine. En mettant
en évidence le rayon de la sphère directrice, nous écrirons Téquation sous
la forme;

2xyz — h{x^ + y^ + z^ — a*) = o.

Acta mathematiea, 10. Imprimé le U Juillet 1987. 28



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218



L. LecoPDU.



Comme on est maltre de ForientatioTi deg axes, on peut toujours supposer
que h est positif.

13. L'équation précédente dépendant seulement de deux constantes,
il est évident que toute équation représentant une surface cubique douée
de la même symétrie que le tétraèdre régulier, et contenant deux con-
stantes arbitraires, doit conduire à des résultats identiques. Chacune de
ces formes d'équation correspond à un mode de génération des surfaces
cubiques symétriques. Par exemple, si on appelle t^u^v, w les distances
d'un point aux quatre faces d'un tétraèdre régulier de hauteur A, comp-
tées toutes positivement lorsque le point est à l'intérieur du tétraèdre, et
si l'on écrit, en appelant m une constante:



<8 + ,^8 ^ t;8 + M;8 = m^



avec la condition évidente:

t^u + v + w — hj

la surface ainsi représentée en coordonnées tétraédriques ne peut différer
de la cubique symétrique; car son équation dépend des deux constantes
w et Ä. Un calcul facile conduit en effet de l'équation cartésienne:

2xyz — h{x^ + y* + «2?^ — 0^) = o

à l'équation tétraédrique:

sJzX 3 /

pourvu que la hauteur h du tétraèdre soit prise égale à ^.

Il résulte de là que:

La cuhique symétrique est le Jieu des points tels que la somme des cubes
de leurs distances aux quatre faces d'un tétraèdre soit constante.

Le tétraèdre ainsi déterminé mérite spécialement le nom de tétraèdre
de référence. Il y a lieu d'observer que la hauteur h du tétraèdre, et
par conséquent toutes ses dimensions, sont indépendantes du rayon a de
la sphère directrice. On peut donc dire qu'une surface cubique symétrique
est déterminée par les dimensions de sa sphère directrice et de son té-
traèdre de référence. Le paramètre b est égal à la distance des arêtes



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\



Sur let surfaoei poiftëdftoi les mêmes plans de symétrie que Tun des polyèdres regaliers. 219

du tétraèdre au centre de la sphère, ou, si Ton veut, à la moitié de la
plus courte distance de deux arêtes opposées.

On doit à Sylvester là forme canonique de Téquation générale des
surfaces du 3*"** degré:

orf' + ßa^ + r^' + dw^ + eco' = o

équation dans laquelle tj u^ Vy Wy to sont les distances d'un point de la
surface à cinq plans, et a, y9, y^ d, s sont des coefficients arbitraires.
Sylvester a en outre annoncé, et Clebsch a démontré que, pour une
surface donnée, la réduction ne peut se faire que d'une seule manière.
Ce qui précède montre que, dans le cas des cubiques symétriques, le
pentaèdre de référence se compose d'un tétraèdre régulier et du plan de
l'infini.

14. On peut toujours, en partant de la forme réduite de Syl-
vester, supposer que les cinq variables satisfont à la relation:

Il suffit pour cela de substituer à chacune d'elles son produit par un
facteur constant, convenablement choisi. L'équation du hessien est alors
(voir Salmon, Géométrie à trois dimensions):

1,1,1,1,1

— I ^ — J 1 = o

ai ßu * p) d^o €0)

Dans le cas de la surface symétrique, la relation identique est:
f + M + v + u; — A=o. Il suffit donc de prendre h = — w pour ren-
trer dans le cas précédent, et Téquation du hessien est par conséquence:

1+1 + 1+1=1.

t u V w eh

C'est une surface symétrique du 4*"*" degré. En vertu d'un théorème de
Sylvester, les 10 sommets du pentaèdre de référence sont des points
doubles du hessien, et ses dix arêtes sont situées sur la même surface.
Donc, dans le cas actuel:

Le hessien de la surface cubique symétrique est une surface du 4*"'*
degré circonscrite au tétraèdre de référence et coupant en outre chacune des



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L. Lcconiu.



faces suivant une droite à l'infini. Les quatre sommets du tétraèdre^ et les
points à V infini sur chaque arête, sont des points doubles de la même surface.
Si Ton pofee: . .

Tt = Uu = rv= Wio = X,

T, U, V, W étant de nouvelles variables, et A, une constante, 1 equation
du hessien prend la forme:



avec la condition:



T+t/+F+W^=;^^



T^ ü^ y^ w À



En prenant A ^ £^^ on retrouve les équations entre t, w, v, w qui ca-
ractérisent le hessien. Par conséquent, les points du hessien se correspon-
dent deux par deux de telle façon que leurs coordonnées tétraédriques soiefit
inversement proportionnelles,

1 5. Lorsque la sphère directrice est imaginaire, et que le carré de

son rayon est égal à i^ Téquation tétraédrique se réduit à:

e + u"" '\' v^ + tv^ = o.

Elle rentre alors dans le type général:

(«-) +[-ß) +U +U) =^

où m est un nombre rationnel et a, ß^y^ à sont des coefficients arbi-
traires, le tétraèdre de référence ayant d'ailleurs une forme quelconque.
C est l'équation générale des surfaces que M. de la Gournerie a étudiées
sous la dénomination de »surfaces tétraédrales symétriques simples» (Paris,
1867). Quel que soit m, il est évident qu'en supposant les coefficients
égaux et prenant pour tétraèdre de référence un tétraèdre régulier on
obtient des surfaces possédant la même symétrie que ce dernier. Mais
ce ne sont pas, au point de vue de la symétrie, les surfaces les plus

générales de leur degré. Pour ??« =-, on a la surface de Steiner; pour

m = — I, on a la surface réciproque de celle de Steinee. Cette der-



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Sur les surfaces posséduot les mêmes plaos de symétrie que Tun des polyèdres réguliers. 221

nière est une forme limite de la surface hessienae, déjà envisagée; il
suffit de supposer que le coefficient e augmente indéfiniment,, et par
conséquent que la cubique symétrique s'éloigne tout entière à Tinfini^
par suite de lagrandissement de sa sphère directrice.

16. Nous devons maintenant déterminer, dans le cas de la surface
cubique symétrique, la position des 27 droites qui existent, comme Ton
sait, sur toute surface cubique, et faire connaître leurs conditions de
réalité. ' D'abord, la surface possède à l'infini trois droites réelles, situées
dans les plans principaux. Toute autre droite, D, de la surface coupe
le plan de l'infini en un point qui appartient à la section de la surface
par ce plan, et par conséquent à un plan principal. Supposons-la pa-
rallèle au plan xop. Si l'on mène par la droite D un plan parallèle à
xoy, il coupe la surface suivant une courbe du s*"^*" degré comprenant
la droite D et une droite à Tinfini. Lé reste de l'intersection est donc
formé d'une autre droite D', à distance finie, et tout revient à chercher,
parmi les sections parallèles aux plans principaux, celles qui se décom-
posent en deux droites.

Ceci posé, une discussion bien facile montre qu'il existe deux cubes,
admettant l'un et Tautre les plans principaux pour plans de symétrie,
dont les faces coupent chacune la surface suivant deux droites. Le pre-
mier est circonscrit au tétraèdre de référence; c'est à dire que son arête
est égale à J, et qu'il est toujours réel. Chacune de ses faces rencontre
la surface suivant deux droites parallèles entre elles et à une arête du
tétraèdre (diagonale d'une face du cube). Ces droites ne sont réelles que
si a' est positif et supérieur à i^ par conséquent si la sphère directrice
rencontre réellement les arêtes du tétraèdre. Les droites se groupent
trois par trois autour de quatre sommets du cube, de manière à con-
stituer quatre facettes parallèles aux faces du tétraèdre. Dans le langage
cristallographique, on dirait que ces facettes sont obtenues par une mo-
dification hemiédrique du cube, "^duè à des plans tangents sur quatre
sommets (Fig. 2). Nous appellerons droites du premier système les -douze
droites ainsi obtenues. Le second cube est circonscrit à la
sphère directrice. Chacune de ses faces coupe la surface sui-
vant deux droites passant par le point de contact avec la
sphère. De là douze droites, que nous appellerons les droites
du second système, et qui sont réelles ou imaginaires en même




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L. Lecornu.



temps que celles du premier. On peut, de deux manières différentes, les
grouper en trois quadrilatères gauches. Si elles sont réelles, le cube qui
les contient est extérieur à celui qui contient les douze premières droites.
Si elles sont imaginaires, leur cube est également imaginaire, et il est
impossible de faire passer par Tune d'elles un plan réeL Si Ton con-
sidère quatre droites du premier système non situées dans le même plan,
il existe deux droites qui rencontrent les quatre droites à la fois, et qui
par conséquent appartiennent à la surface cubique; ce sont nécessaire-
ment des droites du second système.

En résumé, les 27 droites de la surface sont: les 3 droites de Tinfini,
les 1 2 droites du premier système, les 1 2 droites du second. Les droites
de l'infini sont toujours réelles; les autres sont, toutes ensemble, réelles
ou imaginaires. On sait que chaque droite d'une cubique est rencontrée
par dix autres. Ici, en appelant couple de droites deux droites symé-
triques par rapport à Tun des plans de symétrie, on trouve qu'une droite
du premier système est rencontrée par

I droite à l'infini i

1 droite parallèle, du 1" système ...... i

2 couples de droites du 1®' système 4

2 7> du 2** » 4

10.

Une droite du second système est rencontrée par:

I droite à l'infini i

4 droites du 1" système 4

I droite du 2'' système (au centre d'une face du cube), i
4 droites j> (sur les arêtes du cube) ... 4

10.

Enfin, une droite à l'infini est rencontrée par:

2 droites à l'infini 2

2 couples de droites du i" système 4

2 D D du 2* » . , . . . 4

10.



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Sur les surfaces possëdaot les mêmes plans de symétrie que Tuo des polyèdres réguliers. 223

On sait encore qu'une surface cubique a 45 plans tritangentSi con-
tenant chacun trois droites de la surface. Ici, nous avons:

Le plan de l-infini i

3 fois: I droite de Tinfini et 2 couples .... 6

de droites du i" système
3 fois: 1 droite de Vinfini et 2 couples .... 6

de droites du 2* système
2 fois: 4 plans, contenant chacun 3 droites . . 8

du i" système
2 fois: 12 plans, contenant chacun i droite . . 24

du I*' système et 2 du 2*""

45-

Le cube qui contient les droites du i" système étant toujours réel,
ainsi que le plan de Tiniini, il y a au moins 7 plans tritangents réels.

Observons encore qu'il y a 6 plans tritangents contenant chacun 3
droites concourantes (savoir, une droite à Tinfini et deux droites con-
courantes). C'est une particularité qui se conserverait dans toute trans-
formation homographique de la surface, et, comme en général une surface
du 3*°** ordre n'a pas 3 droites concourantes et situées dans un même
plan, il est généralement impossible de ramener homographiquement une
surface cubique à la forme symétrique. Du reste, si Ton se donne les
plans principaux d'une surface cubique symétrique, Téquation de celle-ci
ne renferme que deux coefficients. La transformation homographique en
introduit 15, ce qui fait en tout 17,. tandis qu'il en faudrait 19 pour
parvenir à l'équation la plus générale.

17. Toute section de la cubique symétrique par un plan réel pos-
sède à rinfini 3 points réels. Si donc elle est indécomposable, c'est une
hyperbole redondante de Newton. Il n'y a d'exception que si deux points
à l'infini sont confondus, et Ton a alors une hyperbole paraboliqtie. Ce
dernier cas se présente lorsque le plan de la section est parallèle à l'un
des àxes binaires.

Per chaque point de la surface passent 27 coniques, situées dans
les platis menés par les 27 droites. La section complète déterminée par
l'un de ces plans a 3 points réels à l'infini, dont l'un sur la droite.
La conique a donc à l'infini deux points réels, et appartient au genre



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L. LecQrna.



hyperbole. II n')' a d'exception que dans deux cas: i°. Si les points à
Tinfini sont tous sur la droite, qui est par suite Tune des droites de
Tinfini; alors le plan sécant est parallèle à un plan principal, et la co-
nique est d'un genre quelconque. 2°. Sî les deux points à Tinfini de
la conique sont confondus; l'hyperbole dégénère alors en parabole. Il
faut et il suffit pour cela que le plan sécant rencontre deux droites de
l'infini au niéine point, autrement dit qu'il passe par un sommet du tri-
angle de l'infini, et, par conséquent, quil soit parallèle à une direction
binaire. Comme il contient déjà une droite de la surface, c'est à dire
une parallèle à l'un des plans principaux, et comme les directions bi-
naires sont parallèles ou perpendiculaires aux plans principaux, le plan
sécant est lui-même parallèle à un plan principal, ce qui donne deux
droites, ou perpendiculaire, ce qui donne une parabole proprement dite.
Il y a ainsi 24 paraboles, correspondant aux 24 droites à distance finie.

En discutant la forme des sections parallèles aux plans principaux,
on s'assure sans peine qu'il y a au plus trois cercles réels sur la surface,
à savoir ceux qui sont situés dans les plans principaux. Ces cercles ne
sont réels que si la sphère directrice est elle-même réelle. Il existe en
outre des cercles toujours imaginaires, au sujet desquels nous nous bor-
nerons à l'énoncé suivant:

Chacune des douze droites dtf premier système est associée à deux cercles
imaginaires, quelle rencontre aux mêmes points.

1 8 . Les sections de la surface faites par des sphères centrales sont
des sphérosymétriques du 6*°* ordre, dont l'une, celle qui est déterminée
par la sphère directrice, se décompose en trois cercles rectangulaires.
Si la sphérosymétrique rencontre les quatre axes ternaires, elle se réduit
évidemment aux 8 points situés sur ces 4 axes, car elle est, comme on
l'a montré, une trajectoire orthogonale des coniques sphérîques passant
par ces 8 points; c'est une sphérosymétrique évanouissante. Le rayon p

de là sphère correspondante s'obtient en faisant x = y = z = ±*-^ dans
l'équation de la surface, ce qui donne pour x:



2X



— b{ix^ — a^) = o.



L'équation dérivée est x{x — 6) = o, et ses racines, substituées dans
le premier membre de la proposée, donnent respectivement ba^ et b{a^ — 6').



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Sur les surfaces possédant les mêmes plans de symétrie que Tun des polj'ëdres réguH<?rs. 225

ft*

Le quotient est i ;. La condition de réalité des trois racines de

Téquation en a?, et par suite des trois valeurs de /?, est que ce quotient
soit négatif, d'où -i> i. D'après cela:

La surface cubique symétrique possède une ou trois sphérosymétriques
réelles évanouissantes, suivant que ses 2^ droites à distance finie smit imagi-
naires ou réelles.

19. Si Ton mène par l'origine une droite ayant pour cosinus di-
recteurs oLj ßy J'y elle rencontre la surface en trois points, et les distances
Pi> Pi'' P% ^^ ^^^ txo\^ points à l'origine sont les racines de l'équation

2ay9;y?^ — *(/^' — ^^) = O.

La somme algébrique des trois distances, égale à — ^, est indépendante

de a'. Par conséquent:

La somme des longueurs interceptées ù partir de VoriginCy sur une droite
donnée, par toutes les cubiques symétriques qui ont mêmes plans de symétrie
est proportionnelle à V arête du tétroMre de . référence et indépendante du
rayon de la sphère directrice.

Si Ton prend, sur chaque droite menée par l'origine, le centre de
gravité des trois points de rencontre avec une cubique symétrique donnée,
le lieu de ce centre est la surface:

ôxyz — h{x^ + y^ + z^) =^ o.

C'est une cubique symétrique h sphère directrice évanouissante.

Faisons varier la direction ot, ß, y de fa<,'on que l'une des racines
de l'équation en p ne change pas. Pour cela, il faut et il suffit que
le produit aßy soit constant, et par suite les deux autres racines ne
changent pas non plus. Il en résulte que:

Tout cone ayant son sommet à Vorigine et passant par une sphérosymé'
trique de la surface coupe celle-ci suivant deux autres spMrosy m étriqués.

Observons encore que les deux racines, o et — z-, de Téquation

dérivée, substituées dans l'équation primitive, donnent respectivement au

Aetm mmtkêmmtUm. 10. IftpHmé le 14 JalUct 1887. 29



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226



L. Lecornu.



premier membre les valeurs ha^ et ha^ Tö«"«' ^^^* '^ rapport est

I r^r-5 X -; . La condition nécessaire et suffisante pour la réalité

des trois valeurs de p est que ce rapport soit négatif, ou bien que

27«'^^^' soit inférieur à -5. Comme on a toujours «^ + ^' + ^^ = i,

la valeur maxima de 2']fx^ß^y^ est Tunîté. Par conséquent, si J est su-
périeur à a (autrement dit si les droites de la surface sont réelles) tous
les rayons vecteurs issus de Torigine rencontrent la surface en trois points
réels. Dans le cas contraire, ils rencontrent la surface en un ou trois
points, suivant qu'il sont d'un côté ou de l'autre du cone circonscrit ayant
son sommet à l'origine. Si a est imaginaire ce cone est également imagi-
naire, et tous les rayons vecteurs rencontrent la surface en un seul
point réel.

20. Si Ton cherche la section faite dans la surface par une sphère
de rayon B, ayant son centre sur Tun des axes binaires, oz par exemple,
à une distance m de l'origine, on trouve que pour jB = y/m* +ä* la
section se décompose en un cercle, situé dans le plan principal xoy^ et une
conique sphérique projetée sur le même plan suivant l'hyperbole équilatère
xy = mb. Par chaque point de la surface passent ainsi trois coniques
sphériques, situées sur trois sphères dont chacune contient l'un des trois
cercles situés dans les plans principaux. Chacune de ces sphères touche
la surface en quatre points situés sur le cercle correspondant. Pouf
w' -f a^ = o, le rayon B s'annule, et le centre de la sphère est un foyer.
Il y a ainsi six foyers, situés sur les axes binaires, aux points où ils
sont rencontrés par une sphère orthogonale et concentrique à la sphère
directrice. Si la sphère directrice est réelle, les foyers sont imaginaires,
et inversement. Pour les valeurs de m égales' à — b + y/6«_a', la
conique sphérique se décompose en deux cercles imaginaires; on retrouve
ainsi les 24 cercles imaginaires dont il a déjà été parlé. On voit en
même temps qu'il existe, en dehors de la sphère directrice, douze sphères,
réelles ou imaginaires, rencontrant chacune la surface suivant trois cercles,
dont deux imaginaires.

21. Il est facile de trouver les trajectoires orthogonales des cu-



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1



Sur les surfaces possédant les mêmes pians de symétrie que Tun des polyèdres réguliers. 227

biques symétriques possédant le même tétraèdre de référence. Les équa-
tions différentielles d'une telle courbe sont:

dx dy dz



yz — bx zx — 6y xy — hz^

h désignant une constante. On les vérifie en posant:

.a; == hkt 8n(/ + C)

\ . y =~biktcn{t + C)

\ .z = — Ut àn{t + C).



Dans ces formules, t est une variable auxiliaire, C est une constante
arbitraire, et k est le module, également arbitraire, des fonctions ellip-
tiques qui figurent dans les seconds membres. Les résultats sont réels
pourvu que < et A soient réels, que h soit inférieur à l'unité, et que C
floît égal à Ä -f fc'i, h étant réel et kf étant le module complémentaire

Vi — *••

Il est également, aisé de trouver les trajectoires orthogonales des cu-
biques symétriques qui possèdent même sphère directrice et mêmes plans
j>rincipaux. Si l'on élimine le paramètre variable h entre les équations
différentielles précédentes et celle de la surface cubique, il vient:

xdx ydy zdz



y* + «• — «" — a' «* 4- «' — y* - a* x* -^ y* — z*— a'
^^ Ton vérifie ces nouvelles équations en posant:



a

9



I^es constantes a, ß, j- sont assujetties à la condition o + y9-j-^ = o.



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228



L. Leoornu.



En éliminant t de deux façons diflférentes, on peut représenter une tra-
jectoire orthogonale par les deux équations:



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