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Acta mathematica online

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auf eine algebraische Function von 0*^ , . . . reducirt. Schreiben wir also

ip = j^(^) + y,\a)y

so ist if- durch eine AßEi/sche Quadratur gegeben.

Die vorstehend gewonnene Reihenentwickelung für ip werde jetzt fol-
gendennassen gespalten. Man vereinige zunächst zu einem Ausdrucke ifitr)^
alle^ ganzen Potenzen nebst dem logarithmischen Gliede und dem Term
ip\ Aus dem nur gebrochene Potenzen enthaltenden Reste greifen wir das
niedrigste Glied heraus und vereinigen damit zu einem Ausdrucke ip{^o\
alle Glieder, deren Exponent sich von dem des niedrigsten Gliedes um
ganze Zahlen untei*scheidet. Aus dem dann noch verbleibenden Reste
spalten wir in gleicher Weise ein ^{o\^ip{^o\^ .... ab, bis alle Glieder
erschöpft sind, was nach einer endlichen Zahl von Spaltungen der Fall ist.
Wir haben dann

F = f^(^)o + î^(^)i. + ••• •

Diesen Ausdruck differentiiren wir vollständig nach y, wobei wir uns den
Ausdruck für K ebenfalls nach Potenzen voft a — r entwickelt denken.
Letztere Entwicklung enthält nur ganze Potenzen, und negative nur dann,
wenn für ^= r der Ausdruck g^i/j verschwindet. Die vollständig ent-
wickelte Ableitung erscheint zunächst ebenfalls als Potenzreihe und man
erkennt sofort, dass die aus den Ausdruck J^(<t)^ , J^C^-)! ? • • • entspringen-
den Reihen einzeln für sich verschwinden müssen, dass also die ^(^j)^ , ...
einzeln für sich Integrale sind, und zwar AiiEi/sche Integrale, da sie sich
linear mit cbnstanten Coefficienten aus den verschiedenen Zweigen zusam-
mensetzen lassen, Avelche die Function (p an der Stelle a '=^ r besitzt.
Weiter erkennt man, wenn die verlangte Differentiation und Entwickelung
an den Anfangsgliedern der einzelnen ip{o) ausgeführt wird, dass in 3(0")
negative oder gebrochene Potenzen höchstens dann auftreten können, wenn



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über die Integrale des Vielkörper- Problems. 91

entweder K negative Potenzen enthalt, also für öt = r der Ausdruck q^H^
verschwindet, oder wenn die Entwickelung von

kein von a — r freies Glied enthält, wenn also diese Ableitung für it= t
verschwindet, d. h. a — r eine Integralgleichung ist. ' Hiernach erhalten
wir also fftr den Ausdruck 3(^), wenn derselbe als Function von a be-
trachtet wird, alle im Endlichen liegenden Pole und Verzweigungspunkte
durch die beiden Bedingungen

Geht man, um das Verhalten von ^ für sehr grosse Werthe von a
zu ermitteln, von der Entwickelung des Ausdruckes ^{(t) nach fallenden
Potenzen von a aus, so kann man genau so wie vorhin ein ^[(t) bilden,
dies durch Hinzufügen einer AuEr/schen Quadratur f'(^) zu ^ ergänzen
und dann in die Bestandtheile J^(ö')o > f(^)i ' ••• spalten, welche einzeln
wiederum Integrale sind. DiflFerentiirt man dann vollständig nach j, so
ergibt sich, dass positive oder gebrochene Potenzen oder ein logarith-
misches Glied in f sicher nicht auftreten, wenn die Ausdrücke



nach (T entwickelt, die Form



iK






dK




dK


m


>




9?«'




9pa




+




+ 5


+


• • •



besitzen. Diese besondere Form findet statt, wenn tr die Variable q vertritt.
24. Nachdem wir die vorstehenden Sätze gewonnen haben, nehmen
wir die 3(<t) einzeln vor. Es wird sich dabei zeigen, dass dieselben
sämmtiich rationale Functionen der Variablen sein müssen. Wir begin-
nen mit 3{t). Da die Variable / in den beiden Bedingungen

q^H^ = o, Ç = o

nicht auftritt, so folgt, dass B {t) für endliche Werthe von t weder ver-
zweigt ist noch unendlich wird, also die Form ê{f) besitzt. Hieraus folgt
für f> die Form



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92





H. Bruns


und ferner








<ii\





,— = o, etc.

dq

woraus wir ähnlich wie in § 20 schliessen, dass n gleich Null ist, d. h.
p die Variable t überhaupt nicht enthält. Wählen wir ferner für o- die
Variable ^, , so folgt, da Q die p^ nicht enthält, dass 3^(p,) im Endlichen
nur einen Verzweigungspunkt resp. Pol besitzen kann, nämlich

Pi = Pio = — {A^h^iP, + A'li^hP',) ' A'J/h •

Hiernach ist 3(pJ ein Aggregat aus einer endlichen Zahl von Potenzen
der Differenz p^ — jho'^ ^^^ 9^(Pi)iy fiPi)^^ - - würden dann, wenn sie
vorkämen, auf algebraische Integrale fuhren, müssen also in Wirklichkeit
fehlen, d. h. ^ muss sich auf f>{(T\ reduciren. Hieraus folgt, dass 3{i\)
eine rationale Function von p^ ist, deren Nenner nur die Theiler ^^ — j5,^
besitzt. Das Integral ç^ besitzt also die Form

äl(p,) + Plog(pj —pj, P = Constante.

Hiermit ergibt sich, dass sämmtlichc af(ö") rationale Functionen von /?,
und ebenso von p^ und p^ sind, deren Nenner nur Thciler von der Form
g^H^ besitzen. Für ^ ergibt sich daraus die Form

j. = Plog(<7,//,) + />,+/>,,

WO P eine Constant<^, Pj eine von den j)^ freie AßEL'sche Quadratur und
Pj einen von den j)^ rational, von den g , g,^ algebraisch abhängenden Aus-
druck bedeutet. Aus der vorstehenden Form ergibt sich, dass B{g) als
Function von g betrachtet, als Verzweigungspunkte, nur die beiden aus

sich ergebenden Stellen g^ , g^ besitzt, während die beidon aus

gjl, = q,M,{q — g,){q — g^)

folgenden Stellen g^^g^ nur als Pole auftreten können; die Stelle ç = cx)
ist, wie oben bemerkt wurde, weder Verzweigungspunkt noch Pol. Setzt



man



= w, ^{g)(fç = 2{u)(h4,



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/ À



Ober die Integrale des VielkörperProblems. 93

SO sind die Verzweigungspunkte von 3{u) durch u = o, w = oo, und
die ausserdem noch vorhandenen Pole u^ , u^ durch

bestimmt. Multiplicirt man nun 3(w) mit solchen ganzen Potenzen von
u — Wg resp. u — ?/^, dass das Product an den Stellen Wg , w^ nicht mehr
unendlich wird, so ist dieses Product als ein endliches Aggregat von
Gliedern der Form ciC^ darstellbar, wo die v rationale Zahlen bedeuten.
Setzt man daher

u = v\ 3{u)(Iu = Sf{v)(fv,

wo A eine passend gewählte ganze Zahl ist, so besitzt S{v) die Gestalt
eR(t;) und enthalt im Nenner als Theiler nur v und die aus

entspringenden linearen Theiler, welche mit

bezeichnet werden sollen. Die Integration nach v liefert jr in der Form
jT - C logi; + Te,, log(?' — u,,) + ^c^, log (i; — u,,) + U, + II,.

Hierin sind die c Constanten, l\ von der Form cR(?;) und ÎZ, eine von
V freie AüEi/schc Quadratur. Vergleichen wir diese Form nnt oben ge-
gebenen, nämlich —

^ = P\og{qJQ + I\+P„

so folgt, dass die mit den Coefficienten r.,. , c^^ versehenen Logarithmen
nur aus der Zerlegung des Terms

P\oorq^n^ = 7>log{7,M,(r/-r/,)(7-.</J}

entspringen können, dass also die c,. , r^^ sllmmtlich (einander gleich sind.
Hieraus folgt, dass sich ^ in der Form

r ^ ^1 l«g(7 — //i) + e, log (7 — r/2) + 63 \ofrqJi, + U[ + P,

schreiben lilsst, wo für die e , TP dieselben Eigenschaften gelten, wie ftir
die c, IT, Stellt man nun, von der zuletzt gefundenen Form für ^ aus-
gehend, die Entwickelung von jr nach Potenzen von g — ff^ oder q — ^,



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94 H. Bruns.

auf, go erkennt man, dass die ^{ç)iy ^{9)^9 - * nur aus gewissen m U[
vorkommenden Bestandtheilen entspringen können, also, wenn sie vorkamen,
rein algebraisch sein müssten. Hiernach reducirt sich f> in beiden Fällen
auf den Bestandtbeil ^((7)0? d. h. 3{q) und damit sind die übrigen 9 von
der Form äl(g).

Der Ausdruck 3{g^) ist in q und den p^ rational, kann also, als
Function von q^ betrachtet, im Endlichen nur Verzweigungspunkte be-
sitzen, welche von den Variablen q , p^ unabhängig sind. Da solche nicht
existiren, so ist ^{q^) von der Form «^((/J. Das Gleiche gilt für alle an-
deren 3 und ebenso für die Variablen q^, q^. Hiermit haben wir, wenn
wir zusammenfassen, das Resultat gewonnen, dass in dem gesuchten Abel -
sehen Integral, falls dasselbe existirt, die 3{q),... sämmtlich die Gestalt
^{l^QajPa) besitzen, dass ferner die Nenner als Theiler nur die Aus-
drücke q^Il^ und Q besitzen, dass also ^ in der Form

f = ^(? , Ϋ , Pa) + C logq^H^ + c" log Q

darstellbar ist. Da die Entwickelung von ^ nach fallenden Potenzen von
q kein logarithmisches Glied besitzt, so ist

c' + c" = 0,
so dass wir auch schreiben können

25. Die Untersuchung hat uns jetzt zu der Frage geführt, ob das
System 7. Ordnung ein Integral von der Form

r = äl(^,7«,?0 + ^»og^

besitzt, in welchem, wenn f sich nicht auf eine Constante rcduciren soll,
der Factor c von Null verschieden sein muss, also gleich Eins gesetzt
werden darf. Bezeichnen wir die beiden Bestandtheile von ^ der Kürze
halber mit j^^ und ^^ , so darf der rationale Term jr ^ als algebraisch aus
den Constanten tn , a^h ,k ^h gebildet vorausgesetzt werden. Bringt man
nämlich y^ zunächst auf die Form cR(wî, a,bjk,h,r), wo /' eine von
den m j . . . abhängende Irrationalität bedeutet, und stellt dann f ^ in
der Form

Fl =Fio +fii''+ F12''' + •••



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über die Integrale des Vielkörpcr-Problems. 05

unter möglichster Herabdrück ung des Grades in Bezug auf /' dar, so
müssen die J^n > f n > • • • ^^^^ ^^^ Constanten reduciren. Man darf deshalb
die mit /' raultiplicirten Tenne unterdrücken oder ^^ als rational aus den
m , a , b j k y h gebildet voraussetzen. Dies festgestellt führen wir an Stelle
von h die Variable p durch die Gleichung

o = A + pli, + //,

ein, und erhalten dann jt, in der Form

wahi'end ^ in ein Integral des Systems 8. Ordnung übergeht.

In dem System 8. Ordnung lasst sich nun die allgemeine Lösung
durch Reihen, welche nach ganzen positiven Potenzen von t fortschreiten,
darstellen, indem man die p , g nach dem TAYLon'schen Satze mit Hülfe
der Differentialgleichungen entwickelt. Diese Reihen convergiren inner-
halb eines bestimmten Bereiches für <, sobald man festsetzt, dass für
t = o die Variablen endliche, und im Besondern die q^ von Null ver-
schiedene Werthe besitzen. Substituirt man diese Reihenentwickelungen in
den Zahler Z und den Nenner N von ^j und ebenso in q^H, und Q^
so erhält man ähnliche Potenzreihen. Die Coefficienten sind sämmtlich
nach den p ^ q , p,,. ganz rational, nach den q^ dagegen rational, jedoch so,
dass in den Nennern als Theiler nur die q^ auftreten. Der so entstehende
Ausdruck

muss nun von t unabhängig sein, wie man auch innerhalb der ange-
gebenen Einschränkungen die Anfangswerthe der Variablen variiren mag.
• Lassen wir nun diese Anfangswerthe so variiren, dass q^H, für f = o
den Werth Null annimmt, so können in den vier* Reihenentwickelungen
nicht sämmtliche Coefficienten verschwinden, da q^H\ , wie wir wissen,
nicht Integralgleichung des Systems 8. Ordnung ist. Setzt man ausser-
dem fest, dass für die gewählten Anfangswerthe Q nicht verschwindet,
so entspringt, wenn man f^ und jr^ nach Potenzen von t entwickelt, aus
çTj ein Glied von der Form

n log^,* (n > o).



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96 H. Bruns.

welches sich nicht fortheben kann. Die Annahme, dass ein Integral der
hier betrachteten Form existire, führt also auf einen Widerspruch oder
m. a. W. es existiren zu dem System 7. Ordnung keine AßEi/schen Inte-
grale, und ebenso auch nicht zu dem System 8. Ordnung.

Bei den vorstehenden Entwickelungen Avaren wir von einer beson-
deren Form der Bewegungsgleichungen für das Dreikörper-Problem aus-
gegangen, nämlich dem hier benutzten System 7. Ordnung. Da jedoch
ein ÄBEi/sches Inteo^ral durch eine alwbraische Transformation der Va-

c* o

riablen wiederum in ein ÄBKLsches Integral übergeht, so gilt das ge-
fundene negative Resultat für alle Formen der Bewegungsgleichungen,
welche aus den urs'prünglichen durch rein algebraische Umformungen ent-
stehen. Das gefundene Resultat gilt ferner auch für das Vielkörper-
Problem. Reducirt man nämlich beim Vielkörper-Problem die Ordnung
des Systems ähnlich wie bei dem Dreikörper-Problem durch Benutzung
der bekannten Integrale, so erhält man algebraische Difterentialgleichungen.
Existirt zu diesen ein Abel sches Integral, so enthält der Ausdruck, i\ber
welchen die Quadratur aiiszuführen ist, die Massen nur in algebraischer
Weise; man müsste also unter allen Umständen durch das Verschwinden-
lassen einer oder mehrerer Massen zu einem Abel' sehen Integral für das
Dreikörper-Problem gelangen, was nicht sein darf

Die vorstehend hergeleiteten negativen Ergebnisse enthalten, wie mir
scheint, eine hinreichende Erklärung für die Thatsache, dass man bei der
Aufsuchung neuer Integrale des Dreikörper-Problems seither nicht über
den bereits vor einem Jahrhundert erreichten Standpunkt hinausgelangt ist.



Berichtigung.
Seite 64, Zeile 2 v. u. ist Dsich» su streichen.



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AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS.

Published under the Auspices of the Johns Hopkins University.

The American Journal of Matheniatlc«, founded under tlie auspices of the Johns Hopkins University, Sn 1878, wn» con-
ducted by Professor Sylvester during the period of his connection with the University. It will be hereafter under the direction
of Simon NewcOmb (Foreign Member of the Royal Society, and Corresponding Member of the Institute of France), Professor of
Astronomy and Mathematics in the Johns Hopkins University and Director of the U. S. Nautical Almanac, ad Editor, and of
Thomas Craig, Ph. D., Associate Professor of Applied Mathematics, as Associate Editor.

Nine volnmeâ of about 400 pages each have been issued, and the tenth is now in progress. "•fThe journal appears quar-
terly in the quarto form.

The subscription price is dollars 5 a volume; single numbers dollars 1.6 0.

Communications in regard to subscriptions should be addressed to

PUBLICATION AGENCY of the Johns Hopkim University, BALTIMORE, Md., U. 8, A.

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1



= .'-1;



2* — 1; w* = 1 — 2*; (Verzweig.-Pkte.); «? = -;



tr = -i- log ^—^ (ünendL-Pkte) ; 6 ir = e^'

2s « + e



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Ausgegeben den 80. December 1887.-Paru le 30 décembre 1887.



Intiall Table des matières.

Seite« Ptfe.

PiCAEP, È., Démonstration d'un théorème général sur les fonctions uni-
formes liées par une relation algébrique — 1 — 12

Stbauss, E., Eine Verallgemeinerung der 'dekadischen Schreibweise Jiebst

functionentheoretischer Anwendung 13 — 18

Lebgh, M., Note sur la fonction Si(WjX,B) 19 — 24

Bbüns, H., Über die Integrale des Vielkörper-Problems 25 — 96



BIBLIOTHECA MATHEMATICA



herausgegeben von



rédigée par



G. EN ESTROM.



I, 1884. [Preis 2,40 M. Prix 3 fr.] II, 1885. [Preis 2,40 M. Prix 3 fr.]
III, 1886. [Preis 4 M. Prix 5 fr.]



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ausschliesslich der Geschichte der Mathe-
matik gewidmet ist. Sie erscheint jähr-
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A partir de 1887 commence une nou-
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clusivement consacrée à l'histoire des
mathématiques. Elle contiendra par an
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La première année de cette nouvelle
série a complétenient paru.

Paris. A. H ER M A H M.



Tidskrift for Mathematik,

der fra Begyndélsen af Aargangen 1883 redigeres af Dr. J. P. Gram og Dr. H. G. Zeüthbn, udgaar i
iQöbenhavn paa £. Jespersens Fprlag med et Hefte paa 1 — 3 Ark hveranden' Maaned til en Pris af 6
Kroner for Aargangen, som altid bliver paa 12 Ark. Subskription modtx^e» i alle Boglader i Danmark,
Norge og Sverîg.



p ii m»a ns^



Preis des Bandes: 15 Mark. — Prix par volume; 18,75 Fr?



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REDACTION



SVERIGE:

A. V. BJLcKLtTim, Lund.

H. Th. Daug, UpsaJa.

H. Gyld^n, Stockholm.

Sophie Kowalevski, » \

A. Lindstedt, t>

G. Mittao-LeffIiEr, »

NORGE:

C. A. Bjerkkes, Christiania.
O. J. Broch, 9

S. Lie, Leipzig.

L. Sti^ow, Frederikshald.

DANMARK:

L. Lorenz, Ejobenhayn.

J, Petersen, >

H. G. Zeüthen, >

FINLAND: -
L. LiNDELOF, Helsingfors.



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r




ZUR THEORIE DER
MEHRWERTHIGEN, MEHRFACH LINEAR VERKNÜPFTEN FUNC

VON

KARL HEUN

in MÜNCHEN.

Durch die tiefsinnigen Forschungen des Herrn Poincarb
Theorie der linearen Differentialgleichungen auf ebenso sichen
lagen gestützt worden, wie die Theorie der elliptischen Function
die Arbeiten von Abel und Jacobi. Wie die Thetafunctionen
kehrungsproblem für die elliptischen Integrale lösen, so erlai
Functionen des Herrn Poincaue (Acta Mathematica, Bd. i,
das analoge Problem im Gebiete der linearen Diflferentialgleichi
behandeln. Wir beschäftigen uns jedoch im Folgenden nicht
eindeutigen Functionen mit linearen Transformationen in sich, son
den mehrdeutigen Functionen, deren Pcriodicitftt durch lineare h
Substitutionen bestimmt ist. Die nachstehende Untersuchung
sich insbesondere an die vierte Abhandlung Pöincarés (d. Zeits
4, p. 201) an. Andererseits steht sie in enger Beziehung zu <
kannten posthumen Abhandlung Riemaxns (Werke, p. 357) na
in Betreff der methodischen Gesichtspunkte. Die Resultate, zu wel
gelangt sind, werden insbesondere dazu dienen können die Th<
PoiNCAHÉ'schen sogen. Zetafunctionen einst weiter auszubilden
vergl. d. Zeitschr., Bd. 5, p. 212.)

1. Wir betrachten im Folgenden eine mehrdeutige Functi
unabhängigen Veränderlichen rr, welche auf einer unendlich-b
RiEMANN'schen Kugelfläche mit i endlichen Verzweigungspunkten i
Ci und dem Unendlichkeitspunkte ^<^i eine eindeutige Function (

Acta mathematiea. 11. Imprimé le 18 .TAnvier ISF'^.



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98



Karl Heun.



ist, derart, dass zwischen je jp + i Zweigen eine lineare homogene Rela-
tion mit bestimmten constanten Coefficienten besteht Eine solche Func-
tion soll, insoweit sie durch diese Festsetzungen determinirt ist, eine p-fach
linear verknüpfte heissen. Ist nun oB^ (i = i , 2 , . . . , * + o die homogene lineare
Substitution, welche das Verhalten der zum Punkte f, gehörigen, willkür-
lich angenommenen, Zweiggruppe (^1, , 2/2^ ? • • • ? Vpt) l>^i einmaliger positi-
ver Umkreisung des Punktes ^t ausdruckt, dann ist bekanntlich



(0



^i+l • ^i • • • ^2 • ^1



Setzt man ferner in üblicher Weise



Äi = B,



w\^^ , o , . . . , o
o yW^\ . .. , o



w\



*ip^



B^ ^ (i«l,2,...,<-l,f+l,...,i + l)



und



B^ = Br'= i



dann ist das Verhalten eines bestimmten Zweiges y^^i (^ij; 2; ;;;;f^,) bestimmt
durch die Gleichung:



log ir<^)



2/vi=(^-fi)'^^^^.<Ppt(^-fi)



WO (Ppi(rr — ^i) eine im Punkte ft eindeutige, stetige und nicht verschwin-
dende Function bedeutet. Die Wurzeln w;p^ (p = 1,2, . . . , iO der zum Punkte
fi gehörigen determinirenden Gleichung wollen wir als von einander ver-
schieden betrachten.

Nun ist aber, wenn wir den üblichen Initialzweig von log a; mit
Logo? bezeichnen

logw;!''^ = Logfr{^^ -f 2m7r^^^i



folglich



.<»



log toi

27t y/— 1



= Åpi + W



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^



Zur Theorie der mehrwerthigeD, mehrfach linear vorknUpftcn FunetionoD. 99

wenn Api durch die Gleichung:



(2)



LogW^^^ = 27ryJ— I . Åpi



definirt ist.

Wir bezeichnen nun alle Functionen (y), deren Periodicität in Bezug
auf dieselben Verzweigungspunkte durch dieselben erzeugenden Substitu-
tionen oBi , SB5J , . . . , ^f definirt ist als zurselben Art (= »espèce» in der
Terminologie des Herrn Poincare) gehörige.

Für zwei Système (y), welche von derselben Art sind, unterscheiden
sich demnach die correspondirenden Verzweigungsindices (A) um ganze
Zahlen (w).

Zwischen je /> + i Functionen derselben Art: y®^ , ^^^ , . . . , y^^^ be-
steht eine fundamentale Relation, deren Form sich durch Betrachtung der
folgenden identisch verschwindenden Determinante ergiebt



U^t 9 !/pt 9 ' • ' 9 Ifpt j


.■..,y^r


!/u 9 yit > • • • > l/ii 9


...,yîf


t/it 9 lAt 9 ' • ' 9 Viu 9


• ..,y^^



»(0) ./l) yi

ifpt 9 Upt 9 • • • > yj



(«»



9 ifpt. 9



,y.r



Nimmt man die ünterdeterminanten in Bezug auf die erste Horizontal-
reihe, dann erhält man eine homogene lineare Gleichung von der Form:



(3)



Ai-J . y<;> + Ai'i . y;,> + . . . + AI"! . y^f> = o. c::!; j:;,':,^,)



Die Entwicklung von A[*^ besteht aus einem Aggregat von Produkten
von je p Factoren, von denen jeder in dem Bereich des Punktes ^, die
Form hat

Der erste Term in der expliciten Gestalt der Determinante àSf"^ heisst also:
Die nächstfolgenden Terme ergeben sich aus diesem ersten, indem der



i



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100 Karl HeuD.

Exponent von {x — $) durch die Summe aller übrigen möglichen Per-
mutationen zu je p der p^ Indices ^^^ ersetzt und jede der so entstan-
denen Potenzen mit einer (P-Function multiplicirt wird. Diese Exponen-
tensummen können sowohl positive als negative Werthe haben. Diejenige
Summe, welche von allen übrigen um eine positive ganze Zahl Ober-
troflfen wird, soll durch El'^^ bezeichnet werden. Es ist also



Da nun



so ist auch



Folglich ist



AI'"" = Det. Bi . AH



AH = (.c — eO''^'".<^"(^-fO-



eine ganze rationale Function von x vom Grade

- [El^^J + El'^J + . . . + El't\],
welche wir niit F^ bezeichnen wollen. Es ist

[£H + ^[cH + . . . + Eit\] = i^^'^^ + ^i^p^

wo unter 22>Jf' die Summe aller auf das System (y^^) bezogenen In-
dicesdififerenzen zu verstehen ist. Die rechte Seite dieser Gleichung darf
also nicht > o werden. Die Gleichung (3) nimmt nach dem Vorstehenden
die Form an:

€ ■ (^ - ^0^'" • (^ - ^r'" • • • t« - ¥'' • i-'«

. . . + y^r . (^ - e,)^'"' . {x - e,)^»'' . . . (x - f,)'^". F, = o.



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Zur Theorie der mehrwerthigeo, mehrfach liocär Terknüpfccn FuDctioocD. 101

Da die Differenzen der Grössen E\^^ , JBf'J , • . . , El^^ ganze Zahlen sind,
so lässt sieh die Gleichung auf die Form bringen:

(4) H,{x.) . <> 4- H,{x) . y,V + . . . + H,{x) . y,f = o.

Die Grössen Hq{x) j Hi{x) , . . . ^ Hp{x) sind ganze rationale Functionen
von bekannten Graden. Die Gleichung (4) enthält den RiEMANN'schen Satz:
»Zwischen je ^ + i Elementen eines Systems jp-fach linear ver-
knüpfter Functionen derselben Art besteht eine lineare homogene
Relation, deren Coefficienten ganze rationale Coefficienten der un-



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