J. O. (James Orchard) Halliwell-Phillipps.

Rara mathematica; or, A collection of treatises on the mathematics and subjects connected with them, from ancient inedited manuscripts online

. (page 1 of 8)
Online LibraryJ. O. (James Orchard) Halliwell-PhillippsRara mathematica; or, A collection of treatises on the mathematics and subjects connected with them, from ancient inedited manuscripts → online text (page 1 of 8)
Font size
QR-code for this ebook




= &


5 i:










&ara jftatjjematica;






JFrom ancient inetiitctf JWanuscrtpts.



&c. &c.

" I see not how the history of any science is to be conducted through the middle-age
period, but by the assistance of the works of science of the middle-age writers, though
the contents of them, as works of science, may have now become of little value."

Rev. J. Hunter's Monastic Libraries, Pref. p. xi.










Royal Military Academy, Woolwich.


I claim the privilege of inscribing this book to
you, because, as my first public effort in literature, it is
whether good for anything or not the most sincere present
I can make to my best and most valued friend.

It may seem rather irrelevant to the purposes of a dedica-
tion, if I allude to the early mathematics of your own country.
It may not be generally known, that many of the men of
science who adorned the walls of the University of Oxford
in the middle ages, were Welchmen : and I mention this,
because the title of a work lately announced has excited a
question relative to the existence of materials requisite for
writing a history of the early progress of science in that
principality. I am not surprised at the question when I take
into consideration, that a man or rather a boy who arro-
gates to himself the title of the Welch mathematical repre-
sentative of England, once said in the dining-hall of my own
College, when a dispute about Demoivre's theorem had
arisen, that *' he thought Demoivre a very clever man, having


written some praiseworthy articles on the expansion of series
in the Philosophical Magazine !" How would the manes
of Gwdion, Gwyn, and Idris be horrified, were they to hear
of such a desecration of the sacred rights of history !

You, I am sure, will be pleased to see the labours of some
of your predecessors brought to light. They will serve to
give additional lustre to the exertions of the best geometrician
in England; and the transcriber will feel himself invigorated
by the hope of being able to fill up a chasm in history,
being convinced that he has left the meritorious labours of
later writers Anderson, Fermat, Simson, and Play fair in
better and more able hands.

Believe me, my dear Sir,
ever to remain,

Yours, most faithfully,


March 1st, 1839.


I HAVE thought it unnecessary to enter very fully into the
history of the several treatises in this volume, because it
will be done at large in my history of early English
Mathematics, now in the course of rapid preparation for the
press. The following notes on some of them may not prove

I. Johannes de Sacro-Bosco de Arithmetica. Often occurs
in MSS. without his name; MSS. Harl. 3647. 3843. 4350.
Bib. Reg. 12 C. xvii. Arund. 343. Cott. Cleop. B. vi.
f. 234. Publ. Cantab. li. I. 15. (1692). An English
translation Ashm. 396. The present text is taken from
a MS. in my own library, purchased at the sale of the
Library of the Abbate Canonici of Venice.

III. A Treatise on the Numeration of Algorism. This is
taken from a single leaf of vellum, found loose in an old MS.
on astronomy in my possession : from Dr, Clarke's library.

IV. Bourne's Treatise on Optical Glasses. -The other
work he mentions in his dedication, as having been in-
scribed to Lord Burghley, is in the British Museum. MS.
Sloan. 3651.

V. Johannes Robyns de Cometis. From a MS. in my
own library, Other copies, Bib. Reg. 12 B. xv. and Trin.
Coll. Cantab, inter MSS. Gal. O. I. 11.

VIII. A Merchant's Account Table. This table is ex-
ceedingly curious, conducted partly similar to an abacus,
the cyphers at the bottom being used to guide the manual


IX. Carmen de Algorismo. A MS. of the Massa
Compotiinthe British Museum (Harl. 3902), by Alexander
de Villa Dei, possesses an introduction to the work by some
other author : it is there stated that the same author com-
posed Doctrinale et Algorismum Metricum. M. Chasles
informs me that a MS. of this tract in the French King's
Library (7420. A.) has the following colophon at the end :
Explicit Algorismus editus a Magistro Alexandra de
Villa Dei. This is, I think, quite sufficient to prove him
to be the author.

MSS. of it are very numerous : I will mention a few
for guidance. MSS. Bib. Reg. 8 C. iv. 12 E. i. 12 F. xix.
Cot. Vitell. A. i. (first chapter). Trin. Coll. Cant. O. v. 4.
ii. 45. i. 31. S. John. F. 18. Publ. Mm. iii. 11. (2310).
li. i. 13. (1690.) i. 15. (1692). Bodl, 57. Fairf. 27.
Digb. 15. 22. 81. 97. 98. 104. 190. Bodl. 4to. D. 21. Jur.

Fragments MSS. Sloan. 513. 1620. 2397. Many copies
of it occur in the Catalogue of the Library of the Dover
Monastery (MS. Bodl. 920.) made in 1389. Fid. Monast.
iv. p. 532.

MS. Digb. 104, has Ambrosinusfor Algorismus in the first
line. MS. Sloan. 513, has the following colophon

" Explicit traetatus algorismi turn satis breve et bono commento
secundum Saxton.

Qui scripsit carmen sit benedictus. Amen !
Nomen scriptoris Galfridus plenus Amoris."

Whose name is here latinized I know not, but I am not
inclined to give much credit to it.

XII. The Preface to an Almanac for 1430. It was
pointed out to me by a friend, that some portions of this
are evidently plagiarized from Chaucer's preface to his tract
on the Astrolabe.



I. Johannis de Sacro-Bosco Tractatus de Arte Nu-

merandi 1

II. A method used in England in the fifteenth cen-

tury for taking the altitude of a steeple or
inaccessible object 27

III. A Treatise on the Numeration of Algorism 29

I V. A Treatise on the properties and qualities of glasses

for optical purposes, according to the making,
polishing, and grinding of them. By WILLIAM

V. Johannis Robyns de Cometis Commentaria 48

VI. Two Tables : one shewing the time of high water

at London bridge, and the other the duration

of moon-light. From a MS. of the 13th century. 55

VII. A Treatise on the mensuration of heights and dis-

tances 57

VIII. An Account Table for the use of merchants 72

IX. Alexandri de Villa Dei Carmen de Algorismo. ... 73

X. Prefatio Danielis de Merlai ad librum de naturis

superiorum et inferiorum 84


XI. Proposals for some inventions in the Mechanical

Arts 86

XII. The Preface to a calendar or almanac for the

year 1430 89

XIII. Johannis Norfolk in artem progressionis summula. 94

XIV. Appendix 107



OMNIA quae a primseva rerum origine pro-
cesserunt ratione numerorum formata sunt, 1 et
quemadmodum sunt, sic cognosci habent : unde
in universa rerum cognitione, ars numerandi est
operativa. Hanc igitur scientiam numerandi
compendiosam edidit philosophus nomine Algus, 2
unde algorismus nuncupatur, vel ars numerandi,

1 "Omnia quaecunque a primseva rerum natura constructa
sunt, numerorum videntur ratione formata." JBoetii Arith. lib. i.
cap. 2, Edit. Par. 1521, fol. 8. Vid. Hen. Welpii Arith. Prac-
tica, 4to. Colon. 1543. Enchiridion Algorismi per Joannem
Huswirt, 4<to. Colon. 1501. Licht de Algorismo, 4to. Leip.


2 " Rex quondam Castelliae." Johannis Norfolk progressionis

summula, MS. Harl. Mus. Brit. 3742. " Cum haec scientia de
numeris quae algorismus ab inventore vel ab Algo, quae est in-
ductio et rismus, quae est numerus quasi inductio in numeros
appellatur.'' Tractatus de Algorismo, MS. Arundel. M.B. 332,
fol. 68. Vid. Pref. a " CEuvre tresubtille et profitable de Arith-
metique et Geom." 4-to. Par. 1515, Sig. B. 2.



vel introductio in numerum. Numerus quidem
dupliciter notificatur, formaliter et materialiter :
formaliter ut numerus est multitude ex unita-
tibus aggregata : materialiter ut numerus est
unitates collectae. Unitas autem est qua una-
quseque res una dicitur. Numerorum alius
digitus ; 3 alius articulus ; alius numerus com-
positus sive mixtus. Digitus quidem dicitur
omnis numerus minor denario ; articulus vero
est omnis numerus qui potest dividi in decem
partes sequales, ita quod nihil residuum sit ;
compositus vero sive mixtus est qui constat
ex digito et articulo. Et sciendum est quod
omnis numerus inter duos articulos proximos
est numerus compositus. Hujus autem artis
no vem,i jun|_ species ; scilicet, numeratio, ad-
ditio, subtractio, mediatio, duplatio, multipli-
catio, divisio, progressio, et radicum extractio ;
et haec dupliciter in cubicis et quadratis; inter

3 "Digitus est omnis numerus minor decem. Articulus est
omnis numerus qui digitum decuplat, aut digiti decuplum, aut
decupli decuplum, et sic in infinitum. Separantur autem digiti
et articuli in limites. Limes est collectio numerorum, qui aut
digiti sunt, aut digitorum sequaemultiplices, quilibet sui relativi.
Limes itaque primus digitorum, secundus primorum articulo-
rum. Tertius est secundorum articulorum. Et sic in infinitum.
Numerus compositus est qui constat ex numeris diversorum
limitum. Item numerus compositus est qui pluribus figuris
significativis representatur." Algorismus demonstralus Regio-
montani, edit. 1534, Sig. A. iv.

4 Prodocimus de Beldemando de Padua facit idem divisionem,
sed Lucas Paciolus de Burgo Sancti Sepulchri omittit duplatio-
nem et mediationem. Vid. Wallisii Opera, torn. iii. Art. Alg.


quas primo de numeratione et postea de aliis
per ordinem dicetur.

I . Numeratio.

Est autem numeratio cujuslibet numeri per
figuras competentes artificialis representatio.
Figura vero differentia locus et limes idem
supponunt, sed diversis rationibus impommtur.
Figura dicitur quantum ad lineae pertractionem.
Differentia vero quantum per illam ostenditur
qualiter figura precedens differat a subsequent!.
Locus vero dicitur ratione spatii in quo scri-
bitur. Limes 5 quia est via ordinata ad cujus-
libet muneri representationem. Juxta igitur
novem limites inveniantur novem figurse, no-
vem digitos representantes ; quae tales sunt,,1. Decima figura di-
citur theta, 6 vel circulus, vel cifra, 7 vel figura
nihili quia nihil significat, sed locum tenens
dat aliis significare : nam sine cifra vel cifris
purus non potest scribi articulus. Cum igitur

5 "Numerorum diversi sunt limites. Primus enim limes restat
ab unitate usque ad denarium ; a denario in centenarium : a cen-
tenario in millenarium : et sic per decuplum. Secundus limes
a binario usque ad vigenarium : a vigenario usque ad ducenta ;
a ducentis usque ad duo millia. Similiter et caeteri per caeteros
digitos sumuntur. Sunt autem tot limites quot digiti." MS. de
Algorismo, Bib. Trin. Col. Cant. Gal. Collect. O 2. 45, fol. 37.

6 In multis MSS. teca et theca.

7 Vid. Noviomagus de Numeris, 12mo. Par. 1539, p. 4-0.
Vossius de Scien. Math, et Wallisii Algebra, Angl. edit. p. 9.



per has novem figuras significativas adjunctas
quandoque cifrae quandoque cifris contingat
quemlibet numerum representare, non fuit ne-
cesse plures invenire figuras significativas, No-
tandum igitur quod quilibet digitus una sola
figura sibi appropriata habet scribi. Omnis
vero articulus per cifram primo positam et per
figuram digiti a quo denominatur, ille articulus
habet representari vel denominari. Quilibet
articulus ab aliquo digito denominatur, ut de-
narius ab unitate, vigenarius a binario, et sic
de aliis, Omnis numerus in eo quod digitus
habet poni in prima differentia : omnis articulus
in secunda. Omnis vero numerus a decem us-
que ad centum, ut centenarius excludatur, scri-
batur duabus figuris ; si sit articulus, per cifram
primo loco positam et figuram scriptam versus
sinistram quse significat digitum a quo deno-
minatur ille articulus ; si sit numerus com-
positus, scribatur digitus qui est pars illius
numeri compositi et sinistretur articulus. Item
omnis numerus a centum usque ad mille, ut
millenarius excludatur, per tres figuras habet
scribi. Item omnis numerus a mille usque ad
decem millia, per quatuor figuras habet scribi,
et sic deinceps. Notandum quod quselibet
figura primo loco posita significat suum digi-
tum : secundo decies suum digitum : tertio
centies suum digitum ; quarto loco millesies ;
quinto loco decies millesies ; sexto loco cen-
ties millesies ; septimo loco millesies millesies,


et sic usque ad infinitum multiplicando per haec
tria, decem, centum, mille : quae tamen omnes
continentur in hac maxima ; quaelibet figura in
sequent! loco posita decies tantum significat
quantum in prsecedenti. Item sciendum est quod
supra quamlibet figuram loco millenarii positam
componenter possunt poni quidam punctus ad
denotandum quod tot millenaries debet ultima
figura representare, quot fuerunt puncta pertran-
sita. Sinistrorsum autem scribimus in hac arte
more Arabum hujus scientise inventorum, vel hac
ratione ut in legendo, consuetum ordinem obser-
vantes numerum majorem proponamus.

II. Additio.

Additio 8 est numeri vel numerorum aggregatio,
ut videatur summa excrescens. In additione
duo ordines figurarum et duo numeri adminus
sunt necessarii, numerus cui debet fieri additio,
et numerus qui recipit additionem alterius et
debet superscribi. Numerus vero addendus est
ille qui debet addi ad alium, debet subscribi, et
competentius est ut minor numerus subscribatur
et majori addatur. Si igitur velis numerum

8 " Additio est numeri ad numerum aggregatio, ut videatur
summa excrescens : vel aliter : additio est duorum numeYorum
tertii inventio qui ambos contineat. In additione duo sunt
ordines et duo numeri sunt necessarii ; scilicet, numerus adden-
dus et numerus cui debet fieri additio." MS. de Arithmetica,
Mus. Brit. Arundel. 332, fol. 68, b<


addere numero, scribe numerum cui debet fieri
additio in superiori ordine per suas differentias ;
numerum vero addendum in inferior! ordine per
suas differentias, ita quod prima inferioris ordinis
sit sub prima superioris ordinis, secunda sub
secunda, et sic de aliis. Hoc facto, addatur prima
inferioris ordinis primae superioris ordinis; ex
tali ergo additione aut excrescat digitus, aut
articulus, aut numerus compositus. Si digitus,
loco superioris deletae scribatur digitus excres-
cens. Si articulus, loco superioris deletse scribatur
cifra et transferatur digitus a quo denominatur
ille articulus versus sinistram partem, et addatur
proximae figuras sequenti, si sit figura sequens ;
si nulla, sit figura ponatur in loco vacuo. Si
autem contingat quod figura sequens cui debet
fieri additio articuli sit cifra, loco illius deletae
scribatur digitus articuli. Si vero contingat quod
sit figura nonenarii, et ei debeat fieri additio
unitatis ; loco illius nonenarii deletae scribatur
cifra, et sinistretur articulus ut prius. Si autem
excrescat numerus compositus, loco superioris
deletae scribatur digitus, pars illius numeri com-
positi, et sinistretur articulus ut prius. Hoc
facto, addatur secunda secundee sibi suprapositae,
et fiat ut prius.

III. Subtractio .

Subtractio est, propositis duobus numeris, ma-
joris ad minorem excessus inventio : vel sic,


subtractio est numeri a numero ablatio, ut vide-
atur summa excrescens. Minor autem de majori
subtrahi potest, vel par de pari ; major vero de
minor! nequaquam. Ille quidem numerus major
est qui plures habet figuras, dummodo ultima sit
significativa : si vero tot sint unitates in uno
quot in alio reliquo, videndum est per ultimas vel
penultimas, et sic deineeps. In subtractione vero
duo sunt numeri necessarii ; scilicet, numerus
subtrahendus, et numerus a quo debet fieri sub-
tractio. Numerus subtrahendus debet sibi scribi
per suas differentias, ita quod prima sub prima,
secunda sub secunda, et sic de aliis. Subtrahe
ergo primam figuram inferioris ordinis a figura
sibi supraposita, et ilia aut erit par, aut major,
aut minor. Si par, ea deleta loco ejus ponatur
cifra, et hoc propter figuras sequentes ne minus
significent. Si major supponatur, tune deleantur
tot unitates quot contineat inferior figura et re-
siduum loco ejus ponatur. Si minor quam, major
numerus de minori subtrahi non potest, mutuetur
unitas a figura proxima sequente quse valet decem
respectu precedentis figurae ; ab illo ergo denario
et a figura a qua debuit fieri subtractio simul
junctis subtrahatur figura inferior et residuum
ponatur in loco figuras deletse. Si vero figura
a qua mutuanda est unitas sit unitas, ea deleta
loco ejus scribatur cifra ne figurae sequentes
minus significent deinde operare ut prius. Si
vero figura a qua mutuanda est unitas sit cifra,
accedet ad proximam figuram significativam et


ibi mutuat unitate et in redeundo in loco cujus-
libet cifrae pertransitae ponatur figura nonenarii ;
cum igitur perventum fuerit ad illam figuram de
qua intenditur, remanebit tibi denarius ab illo
ergo denario, et a figura non potest fieri subtractio
simul junctis subtrahatur figura sibi supposita ut
prius. Ratio autem quare loco cujuslibet cifras
pertransitae relinquitur nonenarii figura haec est.
Si autem tertio loco mutuetur unitas ilia respectu
illius a qua debuit fieri subtractio, valuit centum ;
sed loco cifrae pertransitae, relinquitur nonenarius
qui valet nonaginta, unde remanet tantum dena-
rius, et eadem erit ratio si a quarto loco vel a
quinto vel deinceps mutuetur unitas. Hoc facto,
subtrahe secundam inferioris ordinis a sua supe-
riori, et negociandum est ut prius. Sciendum
est quod tarn in additione quam in subtractione
possumus incipere operari a sinistra parte ten-
dendo versus dextram ; sed, ut dicebatur, fuit
commodius. Si autem probare volueris utrum
bene feceris, nee ne figuras quas prius subtraxisti
adde superioribus, et concurrent ecedem figurae
si recte feceris, quas prius habuisti. Similiter
in additione, quum omnes figuras addideris, sub-
trahas quas prius addidisti et redibunt esedem
figurae quae prius habuisti, si feceris recte : est
enim subtractio additionis probatio, et converse. 9

9 " Una species probat aliam ; si itaque volueris explorare
veritatem calculi in additione, subtrahe partes conjungendas ab
aggregate: sique nihil remanet, vera est operatio. E contra
vero, in subtractione exploraturus calculum, adde relictum ad


IV. Mediatio.

Mediatio est numeri propositi medietatis in-
ventio, ut videatur quse et quanta sit ilia me-
dietas. In mediatione autem tantum est unus
ordo figurarum et unus numerus necessarius, sci-
licet, numerus mediandus. Si ergo velis nume-
rum aliquem mediare, scribatur ille numerus per
suas differentias et incipe a dextris, scilicet, a
prima figura versus dextram tendendo ad sinis-
tram. Prima igitur figura aut erit significativa
aut non : si non sit significativa, cifra praemitta-
tur et fiat alterius : si vero fuerit significativa,
ergo representabit unitatem aut alium digitum :
si unitatem loco ejus deletae ponatur cifra propter
figuras sequentes ne minus significent, et scriba-
tur ilia unitas exterius in tabula, vel resolvatur
ilia unitas in sexaginta minuta, et medietas illo-
rum sexaginta abjiciatur et reliqua medietas
reservetur exterius in tabula, vel scribatur figura
dimidii : sciendum turn quod nullum ordinis
locum obtineat aliquod, tamen significat quod
medietas duplata in suum locum recipiatur in
duplatione. Si autem prima figura significet
alium digitum ab unitate, ille numerus aut erit
par aut impar. Si par, loco ejus deletae scribatur
medietas illius numeri paris. Si impar, sume

numerum subtrahendum, cumque redit is, a quo subtractio facta
est, justa est operatic." Winshemii Compendium Logisticce
Astronomicce, 12mo. 1563, Sig. B. 3.


numerum proximum parem sub illo contentum,
et medietatem ejus pone in loco illius imparis
deleti ; de unitate autem quae remanet medianda,
fac ut prius. Hoc facto, rnedianda est secunda
figura et negocianda est ut prius, si cifra praeter-
mittatur intacta. Si autem figura sit significativa,
aut par aut impar erit : si par, loco ejus deletae
scribatur ejus medietas; si impar, aut erit unitas
aut alius digitus numerum imparern representans.
Si unitas, loco ejus deletae scribatur cifra. Ilia
autem unitas cum valet decem respectu figurae
prioris de illis decem sumatur medietas : quina-
rius et addatur figurae praecedenti. Si vero fuerit
alius digitus numerum imparem representans,
sume proximum parem sub illo contentum, et
medietas ejus loco illius imparis deletae ponatur :
unitas autem quae remanet medianda valet decem
respectu figurae praecedentis : dividatur ergo ille
denarius in duos quinarios, et unus illorum ab-
jiciatur, et reliquus addatur figurae praecedenti ut
prius. Si autem cifra fuerit cui debet addi qui-
narius, deleatur cifra, et loco ejus scribatur
quinarius, et sic operandum est donee totus
numerus mediatur qui scriptus fuerit.

V. Duplatio.

Duplatio est numeri propositi ad seipsum ag-
gregatio, ut videatur summa excrescens. In
duplatione tantum unus ordo figurarum est
necessarius. In tribus speciebus precedentibus


inchoamus a dextra et a figura minor! ; in hac
autem specie et in omnibus sequentibus inchoa-
mus a sinistra et a figura majori : unde versus

Subtrahis aut addis a dextris vel mediabis ;
A leva dupla, divide, multiplicaque :
Extrahe radicem semper sub parte sinistra. 1

Si enim velis incipere duplare a prima figura, con-
tinget idem bis duplare. Et licet aliquo modo
possumus operari incipiendo a dextris, turn diffi-
cilior erit operatio et doctrina. Si igitur velis
aliquem numerum duplare, scribatur ille nume-
rus per suas differentias, et dupletur ultima figura.
Ex ilia igitur duplatione aut excrescit digitus,
aut articulus, aut numerus compositus. Si digi-
tus, loco illius delete scribatur digitus excrescens.
Si articulus, loco illius deletae scribatur cifra, et
transferatur articulus, versus sinistram. Si nu-
merus compositus, loco illius deletae scribatur
digitus qui est pars illius compositi et sinistretur
articulus. Hoc facto, duplanda est ultima figura,
et quicquid excreverit negociandum est, ut prius.
Si vero occurrerit cifra, relinquenda est intacta.
Sed si aliquis numerus cifrae debeat loco illius

1 In Dionysii algorismo. MS. Bib. Reg. Mus. Brit. 8. c. iv.
Vide Arithmeticae Brevis Introductio, per A. Lonicerum, 12mo.
Franco/. 1551:

" Addas, subducas a dextris multiplicesque ;
Dividit ac mediat deinde sinistra manus."

Vide Cirveli Algorismus, 4to. Par. 1513. Buclaei Arith.
Memor. 12mo. Cantab. 1613; et Arithmetica Speculativa Bra-
vardini, 4to. Par. 1500.


deletae scribatur numerus addendus, eodem modo
negociandum est ut prius de omnibus : probatio
hujus tails est: si recte mediaveris, dupla et
occurrent eaedem figurse quas prius habuisti. Est
enim duplatio mediationis probatio et con verso.

V I . Multiplicatio.

Multiplicatio est numeri per se vel per alium,
propositis duobus numeris, est tertii inventio
qui contineat alterum illorum quot continentur
unitates in reliquo. In multiplicatione duo sunt
numeri necessarii, scilicet, numerus multiplican-
dus et numerus multiplicans. Numerus multi-
plicans adverbialiter nuncupatur. Numerus vero
multiplicandus nominalem recipit appellationem :
potest et jam tertius numerus assignari qui pro-
ductus dicitur, perveniens ex ductione unius in
alterum. Notandum est quod de multiplicante
potest fieri multiplicandus et econverso, manente
semper eadem summa, omnis numerus in seipso
convertitur multiplicando. Sunt autem sex re-
gulae multiplicationis, quarum prima talis est;.,
~quiriam digitus multiplicat digitum, subtrahendus
est minor digitus ab articulo suae denominationis
per differentiam majoris digiti ad denarium,
denario simul computato. Verbi gratia, si vis
scire quot sunt quater in octo, vide quot sunt
unitates intra octo et decem, denario simul com-

1 3 4 5 6 7 8

Online LibraryJ. O. (James Orchard) Halliwell-PhillippsRara mathematica; or, A collection of treatises on the mathematics and subjects connected with them, from ancient inedited manuscripts → online text (page 1 of 8)